Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60313 / 56420
↖ ↑ ↗
← N 24.277012°
W 14.345398°		 ← 278.42 m → N 24.277012°
W 14.342651°		 →
↑
278.41 m
↓
↑
278.41 m
↓
N 24.274509°
W 14.345398°		 ← 278.42 m →
77 515 m²		 N 24.274509°
W 14.342651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460155487060547 y=0.430454254150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460155487060547 × 217)
    floor (0.460155487060547 × 131072)
    floor (60313.5)     		tx = 60313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430454254150391 × 217)
    floor (0.430454254150391 × 131072)
    floor (56420.5)     		ty = 56420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60313 / 56420 ti = "17/60313/56420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60313/56420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60313 ÷ 217
    60313 ÷ 131072     		x = 0.460151672363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56420 ÷ 217
    56420 ÷ 131072     		y = 0.430450439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460151672363281 × 2 - 1) × π
    -0.0796966552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25037443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430450439453125 × 2 - 1) × π
    0.13909912109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.436992776936432
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25037443} λ = -0.25037443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.436992776936432))-π/2
    2×atan(1.54804489538927)-π/2
    2×0.997255063480888-π/2
    1.99451012696178-1.57079632675     		φ = 0.42371380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25037443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.345398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42371380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.277012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60313 KachelY 56420 -0.25037443 0.42371380 -14.345398 24.277012
    Oben rechts KachelX + 1 60314 KachelY 56420 -0.25032649 0.42371380 -14.342651 24.277012
    Unten links KachelX 60313 KachelY + 1 56421 -0.25037443 0.42367010 -14.345398 24.274509
    Unten rechts KachelX + 1 60314 KachelY + 1 56421 -0.25032649 0.42367010 -14.342651 24.274509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42371380-0.42367010) × R
    4.36999999999799e-05 × 6371000     		dl = 278.412699999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42371380-0.42367010) × R
    4.36999999999799e-05 × 6371000     		dr = 278.412699999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25037443--0.25032649) × cos(0.42371380) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.911568306226952 × 6371000     		do = 278.416424489731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25037443--0.25032649) × cos(0.42367010) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.911586272553112 × 6371000     		du = 278.421911868193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42371380)-sin(0.42367010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911568306226952-0.911586272553112)×R²
    abs(-0.25032649--0.25037443)×1.79663261606899e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79663261606899e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79663261606899e-05×40589641000000     		ar = 77515.4323566974m²