Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60313 / 41989
↖ ↑ ↗
← N 54.154393°
W 14.345398°		 ← 178.86 m → N 54.154393°
W 14.342651°		 →
↑
178.90 m
↓
↑
178.90 m
↓
N 54.152784°
W 14.345398°		 ← 178.87 m →
31 998 m²		 N 54.152784°
W 14.342651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460155487060547 y=0.320354461669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460155487060547 × 217)
    floor (0.460155487060547 × 131072)
    floor (60313.5)     		tx = 60313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320354461669922 × 217)
    floor (0.320354461669922 × 131072)
    floor (41989.5)     		ty = 41989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60313 / 41989 ti = "17/60313/41989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60313/41989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60313 ÷ 217
    60313 ÷ 131072     		x = 0.460151672363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41989 ÷ 217
    41989 ÷ 131072     		y = 0.320350646972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460151672363281 × 2 - 1) × π
    -0.0796966552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25037443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320350646972656 × 2 - 1) × π
    0.359298706054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.12877017535346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25037443} λ = -0.25037443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12877017535346))-π/2
    2×atan(3.09185172554597)-π/2
    2×1.25798439203189-π/2
    2.51596878406377-1.57079632675     		φ = 0.94517246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25037443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.345398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94517246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.154393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60313 KachelY 41989 -0.25037443 0.94517246 -14.345398 54.154393
    Oben rechts KachelX + 1 60314 KachelY 41989 -0.25032649 0.94517246 -14.342651 54.154393
    Unten links KachelX 60313 KachelY + 1 41990 -0.25037443 0.94514438 -14.345398 54.152784
    Unten rechts KachelX + 1 60314 KachelY + 1 41990 -0.25032649 0.94514438 -14.342651 54.152784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94517246-0.94514438) × R
    2.80799999999859e-05 × 6371000     		dl = 178.89767999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94517246-0.94514438) × R
    2.80799999999859e-05 × 6371000     		dr = 178.89767999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25037443--0.25032649) × cos(0.94517246) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.585603092007002 × 6371000     		do = 178.858257722409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25037443--0.25032649) × cos(0.94514438) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.585625853366255 × 6371000     		du = 178.865209627403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94517246)-sin(0.94514438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585603092007002-0.585625853366255)×R²
    abs(-0.25032649--0.25037443)×2.27613592527209e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27613592527209e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27613592527209e-05×40589641000000     		ar = 31997.9491971812m²