Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60312 / 41991
↖ ↑ ↗
← N 54.151176°
W 14.348144°		 ← 178.83 m → N 54.151176°
W 14.345398°		 →
↑
178.83 m
↓
↑
178.83 m
↓
N 54.149567°
W 14.348144°		 ← 178.84 m →
31 982 m²		 N 54.149567°
W 14.345398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460147857666016 y=0.320369720458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460147857666016 × 217)
    floor (0.460147857666016 × 131072)
    floor (60312.5)     		tx = 60312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320369720458984 × 217)
    floor (0.320369720458984 × 131072)
    floor (41991.5)     		ty = 41991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60312 / 41991 ti = "17/60312/41991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60312/41991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60312 ÷ 217
    60312 ÷ 131072     		x = 0.46014404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41991 ÷ 217
    41991 ÷ 131072     		y = 0.320365905761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46014404296875 × 2 - 1) × π
    -0.0797119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25042236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320365905761719 × 2 - 1) × π
    0.359268188476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.12867430155422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25042236} λ = -0.25042236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12867430155422))-π/2
    2×atan(3.09155531218372)-π/2
    2×1.25795631894432-π/2
    2.51591263788864-1.57079632675     		φ = 0.94511631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25042236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.348144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94511631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.151176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60312 KachelY 41991 -0.25042236 0.94511631 -14.348144 54.151176
    Oben rechts KachelX + 1 60313 KachelY 41991 -0.25037443 0.94511631 -14.345398 54.151176
    Unten links KachelX 60312 KachelY + 1 41992 -0.25042236 0.94508824 -14.348144 54.149567
    Unten rechts KachelX + 1 60313 KachelY + 1 41992 -0.25037443 0.94508824 -14.345398 54.149567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94511631-0.94508824) × R
    2.80699999999356e-05 × 6371000     		dl = 178.83396999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94511631-0.94508824) × R
    2.80699999999356e-05 × 6371000     		dr = 178.83396999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25042236--0.25037443) × cos(0.94511631) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.585648606158099 × 6371000     		do = 178.834847243217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25042236--0.25037443) × cos(0.94508824) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.585671358488496 × 6371000     		du = 178.841794941014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94511631)-sin(0.94508824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585648606158099-0.585671358488496)×R²
    abs(-0.25037443--0.25042236)×2.27523303969468e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.27523303969468e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.27523303969468e-05×40589641000000     		ar = 31982.366951039m²