Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60312 / 40420
↖ ↑ ↗
← N 56.601838°
W 14.348144°		 ← 168.09 m → N 56.601838°
W 14.345398°		 →
↑
168.07 m
↓
↑
168.07 m
↓
N 56.600327°
W 14.348144°		 ← 168.09 m →
28 251 m²		 N 56.600327°
W 14.345398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460147857666016 y=0.308383941650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460147857666016 × 217)
    floor (0.460147857666016 × 131072)
    floor (60312.5)     		tx = 60312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308383941650391 × 217)
    floor (0.308383941650391 × 131072)
    floor (40420.5)     		ty = 40420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60312 / 40420 ti = "17/60312/40420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60312/40420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60312 ÷ 217
    60312 ÷ 131072     		x = 0.46014404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40420 ÷ 217
    40420 ÷ 131072     		y = 0.308380126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46014404296875 × 2 - 1) × π
    -0.0797119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25042236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308380126953125 × 2 - 1) × π
    0.38323974609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.20398317085733
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25042236} λ = -0.25042236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20398317085733))-π/2
    2×atan(3.33336788861709)-π/2
    2×1.27934238547846-π/2
    2.55868477095692-1.57079632675     		φ = 0.98788844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25042236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.348144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98788844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.601838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60312 KachelY 40420 -0.25042236 0.98788844 -14.348144 56.601838
    Oben rechts KachelX + 1 60313 KachelY 40420 -0.25037443 0.98788844 -14.345398 56.601838
    Unten links KachelX 60312 KachelY + 1 40421 -0.25042236 0.98786206 -14.348144 56.600327
    Unten rechts KachelX + 1 60313 KachelY + 1 40421 -0.25037443 0.98786206 -14.345398 56.600327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98788844-0.98786206) × R
    2.63799999999925e-05 × 6371000     		dl = 168.066979999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98788844-0.98786206) × R
    2.63799999999925e-05 × 6371000     		dr = 168.066979999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25042236--0.25037443) × cos(0.98788844) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.550453955067783 × 6371000     		do = 168.08773714113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25042236--0.25037443) × cos(0.98786206) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.550475978628775 × 6371000     		du = 168.094462300422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98788844)-sin(0.98786206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550453955067783-0.550475978628775)×R²
    abs(-0.25037443--0.25042236)×2.20235609917907e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.20235609917907e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.20235609917907e-05×40589641000000     		ar = 28250.5634966868m²