Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60311 / 41993
↖ ↑ ↗
← N 54.147959°
W 14.350891°		 ← 178.89 m → N 54.147959°
W 14.348144°		 →
↑
178.90 m
↓
↑
178.90 m
↓
N 54.146350°
W 14.350891°		 ← 178.89 m →
32 003 m²		 N 54.146350°
W 14.348144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460140228271484 y=0.320384979248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460140228271484 × 217)
    floor (0.460140228271484 × 131072)
    floor (60311.5)     		tx = 60311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320384979248047 × 217)
    floor (0.320384979248047 × 131072)
    floor (41993.5)     		ty = 41993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60311 / 41993 ti = "17/60311/41993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60311/41993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60311 ÷ 217
    60311 ÷ 131072     		x = 0.460136413574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41993 ÷ 217
    41993 ÷ 131072     		y = 0.320381164550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460136413574219 × 2 - 1) × π
    -0.0797271728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25047030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320381164550781 × 2 - 1) × π
    0.359237670898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.12857842775498
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25047030} λ = -0.25047030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12857842775498))-π/2
    2×atan(3.09125892723838)-π/2
    2×1.25792824367505-π/2
    2.5158564873501-1.57079632675     		φ = 0.94506016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25047030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.350891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94506016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.147959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60311 KachelY 41993 -0.25047030 0.94506016 -14.350891 54.147959
    Oben rechts KachelX + 1 60312 KachelY 41993 -0.25042236 0.94506016 -14.348144 54.147959
    Unten links KachelX 60311 KachelY + 1 41994 -0.25047030 0.94503208 -14.350891 54.146350
    Unten rechts KachelX + 1 60312 KachelY + 1 41994 -0.25042236 0.94503208 -14.348144 54.146350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94506016-0.94503208) × R
    2.80799999999859e-05 × 6371000     		dl = 178.89767999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94506016-0.94503208) × R
    2.80799999999859e-05 × 6371000     		dr = 178.89767999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25047030--0.25042236) × cos(0.94506016) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.58569411846275 × 6371000     		do = 178.886059545016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25047030--0.25042236) × cos(0.94503208) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.585716877975192 × 6371000     		du = 178.893010885945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94506016)-sin(0.94503208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58569411846275-0.585716877975192)×R²
    abs(-0.25042236--0.25047030)×2.27595124419055e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27595124419055e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27595124419055e-05×40589641000000     		ar = 32002.9228283322m²