Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60310 / 39636
↖ ↑ ↗
← N 57.768659°
W 14.353638°		 ← 162.90 m → N 57.768659°
W 14.350891°		 →
↑
162.91 m
↓
↑
162.91 m
↓
N 57.767194°
W 14.353638°		 ← 162.90 m →
26 537 m²		 N 57.767194°
W 14.350891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460132598876953 y=0.302402496337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460132598876953 × 217)
    floor (0.460132598876953 × 131072)
    floor (60310.5)     		tx = 60310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302402496337891 × 217)
    floor (0.302402496337891 × 131072)
    floor (39636.5)     		ty = 39636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60310 / 39636 ti = "17/60310/39636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60310/39636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60310 ÷ 217
    60310 ÷ 131072     		x = 0.460128784179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39636 ÷ 217
    39636 ÷ 131072     		y = 0.302398681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460128784179688 × 2 - 1) × π
    -0.079742431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25051824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302398681640625 × 2 - 1) × π
    0.39520263671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.24156570015945
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25051824} λ = -0.25051824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24156570015945))-π/2
    2×atan(3.46102815710166)-π/2
    2×1.28952481166517-π/2
    2.57904962333035-1.57079632675     		φ = 1.00825330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25051824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.353638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00825330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.768659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60310 KachelY 39636 -0.25051824 1.00825330 -14.353638 57.768659
    Oben rechts KachelX + 1 60311 KachelY 39636 -0.25047030 1.00825330 -14.350891 57.768659
    Unten links KachelX 60310 KachelY + 1 39637 -0.25051824 1.00822773 -14.353638 57.767194
    Unten rechts KachelX + 1 60311 KachelY + 1 39637 -0.25047030 1.00822773 -14.350891 57.767194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00825330-1.00822773) × R
    2.55700000000303e-05 × 6371000     		dl = 162.906470000193m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00825330-1.00822773) × R
    2.55700000000303e-05 × 6371000     		dr = 162.906470000193m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25051824--0.25047030) × cos(1.00825330) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.533339070462282 × 6371000     		do = 162.895480266937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25051824--0.25047030) × cos(1.00822773) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.533360699990613 × 6371000     		du = 162.902086481633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00825330)-sin(1.00822773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533339070462282-0.533360699990613)×R²
    abs(-0.25047030--0.25051824)×2.16295283308465e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.16295283308465e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.16295283308465e-05×40589641000000     		ar = 26537.2657683611m²