Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60309 / 82555
↖ ↑ ↗
← S 42.283405°
W 14.356384°		 ← 225.91 m → S 42.283405°
W 14.353638°		 →
↑
225.92 m
↓
↑
225.92 m
↓
S 42.285437°
W 14.356384°		 ← 225.91 m →
51 037 m²		 S 42.285437°
W 14.353638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460124969482422 y=0.629848480224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460124969482422 × 217)
    floor (0.460124969482422 × 131072)
    floor (60309.5)     		tx = 60309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629848480224609 × 217)
    floor (0.629848480224609 × 131072)
    floor (82555.5)     		ty = 82555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60309 / 82555 ti = "17/60309/82555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60309/82555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60309 ÷ 217
    60309 ÷ 131072     		x = 0.460121154785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82555 ÷ 217
    82555 ÷ 131072     		y = 0.629844665527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460121154785156 × 2 - 1) × π
    -0.0797576904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25056617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629844665527344 × 2 - 1) × π
    -0.259689331054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.815838094633736
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25056617} λ = -0.25056617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.815838094633736))-π/2
    2×atan(0.4422685091285)-π/2
    2×0.416405844889609-π/2
    0.832811689779219-1.57079632675     		φ = -0.73798464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25056617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.356384°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73798464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.283405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60309 KachelY 82555 -0.25056617 -0.73798464 -14.356384 -42.283405
    Oben rechts KachelX + 1 60310 KachelY 82555 -0.25051824 -0.73798464 -14.353638 -42.283405
    Unten links KachelX 60309 KachelY + 1 82556 -0.25056617 -0.73802010 -14.356384 -42.285437
    Unten rechts KachelX + 1 60310 KachelY + 1 82556 -0.25051824 -0.73802010 -14.353638 -42.285437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73798464--0.73802010) × R
    3.54599999999872e-05 × 6371000     		dl = 225.915659999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73798464--0.73802010) × R
    3.54599999999872e-05 × 6371000     		dr = 225.915659999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25056617--0.25051824) × cos(-0.73798464) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.739825990985766 × 6371000     		do = 225.914766454052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25056617--0.25051824) × cos(-0.73802010) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.739802133094222 × 6371000     		du = 225.907481159858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73798464)-sin(-0.73802010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739825990985766-0.739802133094222)×R²
    abs(-0.25051824--0.25056617)×2.38578915435772e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38578915435772e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38578915435772e-05×40589641000000     		ar = 51036.8606415313m²