Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60308 / 40461
↖ ↑ ↗
← N 56.539801°
W 14.359131°		 ← 168.40 m → N 56.539801°
W 14.356384°		 →
↑
168.39 m
↓
↑
168.39 m
↓
N 56.538287°
W 14.359131°		 ← 168.41 m →
28 356 m²		 N 56.538287°
W 14.356384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460117340087891 y=0.308696746826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460117340087891 × 217)
    floor (0.460117340087891 × 131072)
    floor (60308.5)     		tx = 60308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308696746826172 × 217)
    floor (0.308696746826172 × 131072)
    floor (40461.5)     		ty = 40461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60308 / 40461 ti = "17/60308/40461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60308/40461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60308 ÷ 217
    60308 ÷ 131072     		x = 0.460113525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40461 ÷ 217
    40461 ÷ 131072     		y = 0.308692932128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460113525390625 × 2 - 1) × π
    -0.07977294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25061411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308692932128906 × 2 - 1) × π
    0.382614135742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.20201775797291
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25061411} λ = -0.25061411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20201775797291))-π/2
    2×atan(3.3268228783509)-π/2
    2×1.27880100689921-π/2
    2.55760201379842-1.57079632675     		φ = 0.98680569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25061411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.359131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98680569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.539801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60308 KachelY 40461 -0.25061411 0.98680569 -14.359131 56.539801
    Oben rechts KachelX + 1 60309 KachelY 40461 -0.25056617 0.98680569 -14.356384 56.539801
    Unten links KachelX 60308 KachelY + 1 40462 -0.25061411 0.98677926 -14.359131 56.538287
    Unten rechts KachelX + 1 60309 KachelY + 1 40462 -0.25056617 0.98677926 -14.356384 56.538287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98680569-0.98677926) × R
    2.64299999999107e-05 × 6371000     		dl = 168.385529999431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98680569-0.98677926) × R
    2.64299999999107e-05 × 6371000     		dr = 168.385529999431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25061411--0.25056617) × cos(0.98680569) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.551357582875746 × 6371000     		do = 168.398797754521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25061411--0.25056617) × cos(0.98677926) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.551379632413654 × 6371000     		du = 168.405532250953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98680569)-sin(0.98677926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551357582875746-0.551379632413654)×R²
    abs(-0.25056617--0.25061411)×2.20495379082974e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20495379082974e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20495379082974e-05×40589641000000     		ar = 28356.4878087341m²