Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60308 / 40273
↖ ↑ ↗
← N 56.823430°
W 14.359131°		 ← 167.14 m → N 56.823430°
W 14.356384°		 →
↑
167.11 m
↓
↑
167.11 m
↓
N 56.821927°
W 14.359131°		 ← 167.14 m →
27 931 m²		 N 56.821927°
W 14.356384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460117340087891 y=0.307262420654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460117340087891 × 217)
    floor (0.460117340087891 × 131072)
    floor (60308.5)     		tx = 60308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307262420654297 × 217)
    floor (0.307262420654297 × 131072)
    floor (40273.5)     		ty = 40273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60308 / 40273 ti = "17/60308/40273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60308/40273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60308 ÷ 217
    60308 ÷ 131072     		x = 0.460113525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40273 ÷ 217
    40273 ÷ 131072     		y = 0.307258605957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460113525390625 × 2 - 1) × π
    -0.07977294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25061411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307258605957031 × 2 - 1) × π
    0.385482788085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.21102989510148
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25061411} λ = -0.25061411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21102989510148))-π/2
    2×atan(3.3569401690699)-π/2
    2×1.28127613547157-π/2
    2.56255227094314-1.57079632675     		φ = 0.99175594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25061411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.359131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99175594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.823430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60308 KachelY 40273 -0.25061411 0.99175594 -14.359131 56.823430
    Oben rechts KachelX + 1 60309 KachelY 40273 -0.25056617 0.99175594 -14.356384 56.823430
    Unten links KachelX 60308 KachelY + 1 40274 -0.25061411 0.99172971 -14.359131 56.821927
    Unten rechts KachelX + 1 60309 KachelY + 1 40274 -0.25056617 0.99172971 -14.356384 56.821927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99175594-0.99172971) × R
    2.6230000000016e-05 × 6371000     		dl = 167.111330000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99175594-0.99172971) × R
    2.6230000000016e-05 × 6371000     		dr = 167.111330000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25061411--0.25056617) × cos(0.99175594) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.547221003984674 × 6371000     		do = 167.135380085646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25061411--0.25056617) × cos(0.99172971) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.547242957995748 × 6371000     		du = 167.142085405724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99175594)-sin(0.99172971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547221003984674-0.547242957995748)×R²
    abs(-0.25056617--0.25061411)×2.19540110742988e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19540110742988e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19540110742988e-05×40589641000000     		ar = 27930.7759253761m²