Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60307 / 40419
↖ ↑ ↗
← N 56.603350°
W 14.361878°		 ← 168.12 m → N 56.603350°
W 14.359131°		 →
↑
168.13 m
↓
↑
168.13 m
↓
N 56.601838°
W 14.361878°		 ← 168.12 m →
28 266 m²		 N 56.601838°
W 14.359131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460109710693359 y=0.308376312255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460109710693359 × 217)
    floor (0.460109710693359 × 131072)
    floor (60307.5)     		tx = 60307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308376312255859 × 217)
    floor (0.308376312255859 × 131072)
    floor (40419.5)     		ty = 40419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60307 / 40419 ti = "17/60307/40419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60307/40419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60307 ÷ 217
    60307 ÷ 131072     		x = 0.460105895996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40419 ÷ 217
    40419 ÷ 131072     		y = 0.308372497558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460105895996094 × 2 - 1) × π
    -0.0797882080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25066205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308372497558594 × 2 - 1) × π
    0.383255004882812 × 3.1415926535     		Φ = 1.20403110775695
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25066205} λ = -0.25066205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20403110775695))-π/2
    2×atan(3.33352768376897)-π/2
    2×1.27935557874237-π/2
    2.55871115748473-1.57079632675     		φ = 0.98791483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25066205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.361878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98791483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.603350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60307 KachelY 40419 -0.25066205 0.98791483 -14.361878 56.603350
    Oben rechts KachelX + 1 60308 KachelY 40419 -0.25061411 0.98791483 -14.359131 56.603350
    Unten links KachelX 60307 KachelY + 1 40420 -0.25066205 0.98788844 -14.361878 56.601838
    Unten rechts KachelX + 1 60308 KachelY + 1 40420 -0.25061411 0.98788844 -14.359131 56.601838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98791483-0.98788844) × R
    2.63900000000428e-05 × 6371000     		dl = 168.130690000272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98791483-0.98788844) × R
    2.63900000000428e-05 × 6371000     		dr = 168.130690000272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25066205--0.25061411) × cos(0.98791483) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.550431922774927 × 6371000     		do = 168.116077333239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25066205--0.25061411) × cos(0.98788844) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.550453955067783 × 6371000     		du = 168.122806562589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98791483)-sin(0.98788844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550431922774927-0.550453955067783)×R²
    abs(-0.25061411--0.25066205)×2.20322928556893e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20322928556893e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20322928556893e-05×40589641000000     		ar = 28266.0377787647m²