Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60307 / 39955
↖ ↑ ↗
← N 57.298338°
W 14.361878°		 ← 165.01 m → N 57.298338°
W 14.359131°		 →
↑
165.01 m
↓
↑
165.01 m
↓
N 57.296854°
W 14.361878°		 ← 165.02 m →
27 229 m²		 N 57.296854°
W 14.359131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460109710693359 y=0.304836273193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460109710693359 × 217)
    floor (0.460109710693359 × 131072)
    floor (60307.5)     		tx = 60307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304836273193359 × 217)
    floor (0.304836273193359 × 131072)
    floor (39955.5)     		ty = 39955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60307 / 39955 ti = "17/60307/39955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60307/39955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60307 ÷ 217
    60307 ÷ 131072     		x = 0.460105895996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39955 ÷ 217
    39955 ÷ 131072     		y = 0.304832458496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460105895996094 × 2 - 1) × π
    -0.0797882080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25066205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304832458496094 × 2 - 1) × π
    0.390335083007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.22627382918066
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25066205} λ = -0.25066205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22627382918066))-π/2
    2×atan(3.40850517192533)-π/2
    2×1.28542049285515-π/2
    2.57084098571029-1.57079632675     		φ = 1.00004466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25066205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.361878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00004466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.298338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60307 KachelY 39955 -0.25066205 1.00004466 -14.361878 57.298338
    Oben rechts KachelX + 1 60308 KachelY 39955 -0.25061411 1.00004466 -14.359131 57.298338
    Unten links KachelX 60307 KachelY + 1 39956 -0.25066205 1.00001876 -14.361878 57.296854
    Unten rechts KachelX + 1 60308 KachelY + 1 39956 -0.25061411 1.00001876 -14.359131 57.296854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00004466-1.00001876) × R
    2.59000000000231e-05 × 6371000     		dl = 165.008900000147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00004466-1.00001876) × R
    2.59000000000231e-05 × 6371000     		dr = 165.008900000147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25066205--0.25061411) × cos(1.00004466) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.54026472523515 × 6371000     		do = 165.010753500925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25066205--0.25061411) × cos(1.00001876) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.540286519777389 × 6371000     		du = 165.017410115117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00004466)-sin(1.00001876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54026472523515-0.540286519777389)×R²
    abs(-0.25061411--0.25066205)×2.17945422392729e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.17945422392729e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.17945422392729e-05×40589641000000     		ar = 27228.7921252105m²