Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60306 / 81995
↖ ↑ ↗
← S 41.135228°
W 14.364624°		 ← 230.03 m → S 41.135228°
W 14.361878°		 →
↑
229.99 m
↓
↑
229.99 m
↓
S 41.137296°
W 14.364624°		 ← 230.03 m →
52 905 m²		 S 41.137296°
W 14.361878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460102081298828 y=0.625576019287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460102081298828 × 217)
    floor (0.460102081298828 × 131072)
    floor (60306.5)     		tx = 60306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625576019287109 × 217)
    floor (0.625576019287109 × 131072)
    floor (81995.5)     		ty = 81995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60306 / 81995 ti = "17/60306/81995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60306/81995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60306 ÷ 217
    60306 ÷ 131072     		x = 0.460098266601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81995 ÷ 217
    81995 ÷ 131072     		y = 0.625572204589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460098266601562 × 2 - 1) × π
    -0.079803466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25070999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625572204589844 × 2 - 1) × π
    -0.251144409179688 × 3.1415926535     		Φ = -0.788993430846504
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25070999} λ = -0.25070999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.788993430846504))-π/2
    2×atan(0.454301851444489)-π/2
    2×0.426425584359586-π/2
    0.852851168719171-1.57079632675     		φ = -0.71794516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25070999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.364624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71794516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.135228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60306 KachelY 81995 -0.25070999 -0.71794516 -14.364624 -41.135228
    Oben rechts KachelX + 1 60307 KachelY 81995 -0.25066205 -0.71794516 -14.361878 -41.135228
    Unten links KachelX 60306 KachelY + 1 81996 -0.25070999 -0.71798126 -14.364624 -41.137296
    Unten rechts KachelX + 1 60307 KachelY + 1 81996 -0.25066205 -0.71798126 -14.361878 -41.137296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71794516--0.71798126) × R
    3.60999999999834e-05 × 6371000     		dl = 229.993099999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71794516--0.71798126) × R
    3.60999999999834e-05 × 6371000     		dr = 229.993099999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25070999--0.25066205) × cos(-0.71794516) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.753159070987295 × 6371000     		do = 230.034166593856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25070999--0.25066205) × cos(-0.71798126) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.753135322528836 × 6371000     		du = 230.026913203358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71794516)-sin(-0.71798126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753159070987295-0.753135322528836)×R²
    abs(-0.25066205--0.25070999)×2.37484584588721e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37484584588721e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37484584588721e-05×40589641000000     		ar = 52905.4369716754m²