Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60306 / 40670
↖ ↑ ↗
← N 56.221978°
W 14.364624°		 ← 169.81 m → N 56.221978°
W 14.361878°		 →
↑
169.79 m
↓
↑
169.79 m
↓
N 56.220451°
W 14.364624°		 ← 169.82 m →
28 832 m²		 N 56.220451°
W 14.361878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460102081298828 y=0.310291290283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460102081298828 × 217)
    floor (0.460102081298828 × 131072)
    floor (60306.5)     		tx = 60306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310291290283203 × 217)
    floor (0.310291290283203 × 131072)
    floor (40670.5)     		ty = 40670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60306 / 40670 ti = "17/60306/40670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60306/40670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60306 ÷ 217
    60306 ÷ 131072     		x = 0.460098266601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40670 ÷ 217
    40670 ÷ 131072     		y = 0.310287475585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460098266601562 × 2 - 1) × π
    -0.079803466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25070999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310287475585938 × 2 - 1) × π
    0.379425048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19199894595232
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25070999} λ = -0.25070999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19199894595232))-π/2
    2×atan(3.29365847667035)-π/2
    2×1.27602747204368-π/2
    2.55205494408736-1.57079632675     		φ = 0.98125862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25070999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.364624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98125862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.221978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60306 KachelY 40670 -0.25070999 0.98125862 -14.364624 56.221978
    Oben rechts KachelX + 1 60307 KachelY 40670 -0.25066205 0.98125862 -14.361878 56.221978
    Unten links KachelX 60306 KachelY + 1 40671 -0.25070999 0.98123197 -14.364624 56.220451
    Unten rechts KachelX + 1 60307 KachelY + 1 40671 -0.25066205 0.98123197 -14.361878 56.220451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98125862-0.98123197) × R
    2.66500000000169e-05 × 6371000     		dl = 169.787150000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98125862-0.98123197) × R
    2.66500000000169e-05 × 6371000     		dr = 169.787150000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25070999--0.25066205) × cos(0.98125862) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.555976825245325 × 6371000     		do = 169.809633273293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25070999--0.25066205) × cos(0.98123197) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.555998976469052 × 6371000     		du = 169.816398827191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98125862)-sin(0.98123197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555976825245325-0.555998976469052)×R²
    abs(-0.25066205--0.25070999)×2.21512237263966e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.21512237263966e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.21512237263966e-05×40589641000000     		ar = 28832.0680297054m²