Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60305 / 40668
↖ ↑ ↗
← N 56.225031°
W 14.367370°		 ← 169.76 m → N 56.225031°
W 14.364624°		 →
↑
169.79 m
↓
↑
169.79 m
↓
N 56.223504°
W 14.367370°		 ← 169.77 m →
28 824 m²		 N 56.223504°
W 14.364624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460094451904297 y=0.310276031494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460094451904297 × 217)
    floor (0.460094451904297 × 131072)
    floor (60305.5)     		tx = 60305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310276031494141 × 217)
    floor (0.310276031494141 × 131072)
    floor (40668.5)     		ty = 40668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60305 / 40668 ti = "17/60305/40668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60305/40668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60305 ÷ 217
    60305 ÷ 131072     		x = 0.460090637207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40668 ÷ 217
    40668 ÷ 131072     		y = 0.310272216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460090637207031 × 2 - 1) × π
    -0.0798187255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25075792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310272216796875 × 2 - 1) × π
    0.37945556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19209481975156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25075792} λ = -0.25075792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19209481975156))-π/2
    2×atan(3.29397426735969)-π/2
    2×1.27605412278712-π/2
    2.55210824557425-1.57079632675     		φ = 0.98131192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25075792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.367370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98131192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.225031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60305 KachelY 40668 -0.25075792 0.98131192 -14.367370 56.225031
    Oben rechts KachelX + 1 60306 KachelY 40668 -0.25070999 0.98131192 -14.364624 56.225031
    Unten links KachelX 60305 KachelY + 1 40669 -0.25075792 0.98128527 -14.367370 56.223504
    Unten rechts KachelX + 1 60306 KachelY + 1 40669 -0.25070999 0.98128527 -14.364624 56.223504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98131192-0.98128527) × R
    2.66500000000169e-05 × 6371000     		dl = 169.787150000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98131192-0.98128527) × R
    2.66500000000169e-05 × 6371000     		dr = 169.787150000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25075792--0.25070999) × cos(0.98131192) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.555932521613287 × 6371000     		do = 169.760683342956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25075792--0.25070999) × cos(0.98128527) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.555954673626732 × 6371000     		du = 169.76744772675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98131192)-sin(0.98128527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555932521613287-0.555954673626732)×R²
    abs(-0.25070999--0.25075792)×2.21520134451314e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.21520134451314e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.21520134451314e-05×40589641000000     		ar = 28823.756861306m²