Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60304 / 39952
↖ ↑ ↗
← N 57.302790°
W 14.370117°		 ← 164.99 m → N 57.302790°
W 14.367370°		 →
↑
165.01 m
↓
↑
165.01 m
↓
N 57.301306°
W 14.370117°		 ← 165 m →
27 225 m²		 N 57.301306°
W 14.367370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460086822509766 y=0.304813385009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460086822509766 × 217)
    floor (0.460086822509766 × 131072)
    floor (60304.5)     		tx = 60304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304813385009766 × 217)
    floor (0.304813385009766 × 131072)
    floor (39952.5)     		ty = 39952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60304 / 39952 ti = "17/60304/39952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60304/39952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60304 ÷ 217
    60304 ÷ 131072     		x = 0.4600830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39952 ÷ 217
    39952 ÷ 131072     		y = 0.3048095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4600830078125 × 2 - 1) × π
    -0.079833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25080586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3048095703125 × 2 - 1) × π
    0.390380859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.22641763987952
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25080586} λ = -0.25080586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22641763987952))-π/2
    2×atan(3.40899538668439)-π/2
    2×1.28545933842851-π/2
    2.57091867685702-1.57079632675     		φ = 1.00012235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25080586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.370117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00012235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.302790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60304 KachelY 39952 -0.25080586 1.00012235 -14.370117 57.302790
    Oben rechts KachelX + 1 60305 KachelY 39952 -0.25075792 1.00012235 -14.367370 57.302790
    Unten links KachelX 60304 KachelY + 1 39953 -0.25080586 1.00009645 -14.370117 57.301306
    Unten rechts KachelX + 1 60305 KachelY + 1 39953 -0.25075792 1.00009645 -14.367370 57.301306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00012235-1.00009645) × R
    2.59000000000231e-05 × 6371000     		dl = 165.008900000147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00012235-1.00009645) × R
    2.59000000000231e-05 × 6371000     		dr = 165.008900000147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25080586--0.25075792) × cos(1.00012235) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.540199347849372 × 6371000     		do = 164.990785564304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25080586--0.25075792) × cos(1.00009645) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.540221143478672 × 6371000     		du = 164.997442510511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00012235)-sin(1.00009645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540199347849372-0.540221143478672)×R²
    abs(-0.25075792--0.25080586)×2.17956293004917e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.17956293004917e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.17956293004917e-05×40589641000000     		ar = 27225.4972651602m²