Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60303 / 40438
↖ ↑ ↗
← N 56.574615°
W 14.372864°		 ← 168.24 m → N 56.574615°
W 14.370117°		 →
↑
168.26 m
↓
↑
168.26 m
↓
N 56.573102°
W 14.372864°		 ← 168.25 m →
28 309 m²		 N 56.573102°
W 14.370117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460079193115234 y=0.308521270751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460079193115234 × 217)
    floor (0.460079193115234 × 131072)
    floor (60303.5)     		tx = 60303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308521270751953 × 217)
    floor (0.308521270751953 × 131072)
    floor (40438.5)     		ty = 40438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60303 / 40438 ti = "17/60303/40438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60303/40438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60303 ÷ 217
    60303 ÷ 131072     		x = 0.460075378417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40438 ÷ 217
    40438 ÷ 131072     		y = 0.308517456054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460075378417969 × 2 - 1) × π
    -0.0798492431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25085380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308517456054688 × 2 - 1) × π
    0.382965087890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20312030666417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25085380} λ = -0.25085380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20312030666417))-π/2
    2×atan(3.33049288537043)-π/2
    2×1.27910481642579-π/2
    2.55820963285158-1.57079632675     		φ = 0.98741331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25085380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.372864°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98741331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.574615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60303 KachelY 40438 -0.25085380 0.98741331 -14.372864 56.574615
    Oben rechts KachelX + 1 60304 KachelY 40438 -0.25080586 0.98741331 -14.370117 56.574615
    Unten links KachelX 60303 KachelY + 1 40439 -0.25085380 0.98738690 -14.372864 56.573102
    Unten rechts KachelX + 1 60304 KachelY + 1 40439 -0.25080586 0.98738690 -14.370117 56.573102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98741331-0.98738690) × R
    2.64100000000322e-05 × 6371000     		dl = 168.258110000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98741331-0.98738690) × R
    2.64100000000322e-05 × 6371000     		dr = 168.258110000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25085380--0.25080586) × cos(0.98741331) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.550850562577249 × 6371000     		do = 168.243940704657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25085380--0.25080586) × cos(0.98738690) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.550872604273947 × 6371000     		du = 168.250672806182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98741331)-sin(0.98738690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550850562577249-0.550872604273947)×R²
    abs(-0.25080586--0.25085380)×2.20416966978387e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20416966978387e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20416966978387e-05×40589641000000     		ar = 28308.9738489801m²