Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60301 / 40330
↖ ↑ ↗
← N 56.737662°
W 14.378357°		 ← 167.52 m → N 56.737662°
W 14.375610°		 →
↑
167.56 m
↓
↑
167.56 m
↓
N 56.736155°
W 14.378357°		 ← 167.52 m →
28 069 m²		 N 56.736155°
W 14.375610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460063934326172 y=0.307697296142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460063934326172 × 217)
    floor (0.460063934326172 × 131072)
    floor (60301.5)     		tx = 60301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307697296142578 × 217)
    floor (0.307697296142578 × 131072)
    floor (40330.5)     		ty = 40330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60301 / 40330 ti = "17/60301/40330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60301/40330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60301 ÷ 217
    60301 ÷ 131072     		x = 0.460060119628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40330 ÷ 217
    40330 ÷ 131072     		y = 0.307693481445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460060119628906 × 2 - 1) × π
    -0.0798797607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25094967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307693481445312 × 2 - 1) × π
    0.384613037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.20829749182314
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25094967} λ = -0.25094967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20829749182314))-π/2
    2×atan(3.34778017484492)-π/2
    2×1.28052766597814-π/2
    2.56105533195628-1.57079632675     		φ = 0.99025901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25094967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.378357°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99025901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.737662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60301 KachelY 40330 -0.25094967 0.99025901 -14.378357 56.737662
    Oben rechts KachelX + 1 60302 KachelY 40330 -0.25090173 0.99025901 -14.375610 56.737662
    Unten links KachelX 60301 KachelY + 1 40331 -0.25094967 0.99023271 -14.378357 56.736155
    Unten rechts KachelX + 1 60302 KachelY + 1 40331 -0.25090173 0.99023271 -14.375610 56.736155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99025901-0.99023271) × R
    2.63000000000346e-05 × 6371000     		dl = 167.557300000221m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99025901-0.99023271) × R
    2.63000000000346e-05 × 6371000     		dr = 167.557300000221m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25094967--0.25090173) × cos(0.99025901) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.548473303090538 × 6371000     		do = 167.517864466756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25094967--0.25090173) × cos(0.99023271) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.548495294121003 × 6371000     		du = 167.524581093509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99025901)-sin(0.99023271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548473303090538-0.548495294121003)×R²
    abs(-0.25090173--0.25094967)×2.1991030465407e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.1991030465407e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.1991030465407e-05×40589641000000     		ar = 28069.4037831835m²