Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60301 / 34477
↖ ↑ ↗
← N 64.570857°
W 14.378357°		 ← 131.15 m → N 64.570857°
W 14.375610°		 →
↑
131.12 m
↓
↑
131.12 m
↓
N 64.569678°
W 14.378357°		 ← 131.15 m →
17 196 m²		 N 64.569678°
W 14.375610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460063934326172 y=0.263042449951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460063934326172 × 217)
    floor (0.460063934326172 × 131072)
    floor (60301.5)     		tx = 60301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263042449951172 × 217)
    floor (0.263042449951172 × 131072)
    floor (34477.5)     		ty = 34477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60301 / 34477 ti = "17/60301/34477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60301/34477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60301 ÷ 217
    60301 ÷ 131072     		x = 0.460060119628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34477 ÷ 217
    34477 ÷ 131072     		y = 0.263038635253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460060119628906 × 2 - 1) × π
    -0.0798797607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25094967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263038635253906 × 2 - 1) × π
    0.473922729492188 × 3.1415926535     		Φ = 1.48887216529932
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25094967} λ = -0.25094967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48887216529932))-π/2
    2×atan(4.4320940296639)-π/2
    2×1.34888519411229-π/2
    2.69777038822458-1.57079632675     		φ = 1.12697406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25094967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.378357°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12697406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.570857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60301 KachelY 34477 -0.25094967 1.12697406 -14.378357 64.570857
    Oben rechts KachelX + 1 60302 KachelY 34477 -0.25090173 1.12697406 -14.375610 64.570857
    Unten links KachelX 60301 KachelY + 1 34478 -0.25094967 1.12695348 -14.378357 64.569678
    Unten rechts KachelX + 1 60302 KachelY + 1 34478 -0.25090173 1.12695348 -14.375610 64.569678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12697406-1.12695348) × R
    2.05799999999368e-05 × 6371000     		dl = 131.115179999597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12697406-1.12695348) × R
    2.05799999999368e-05 × 6371000     		dr = 131.115179999597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25094967--0.25090173) × cos(1.12697406) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.429394547460288 × 6371000     		do = 131.148147410089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25094967--0.25090173) × cos(1.12695348) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.429413133517293 × 6371000     		du = 131.153824070304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12697406)-sin(1.12695348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429394547460288-0.429413133517293)×R²
    abs(-0.25090173--0.25094967)×1.85860570053875e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.85860570053875e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.85860570053875e-05×40589641000000     		ar = 17195.8851031837m²