Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60300 / 30108
↖ ↑ ↗
← N 69.260040°
W 14.381104°		 ← 108.16 m → N 69.260040°
W 14.378357°		 →
↑
108.18 m
↓
↑
108.18 m
↓
N 69.259067°
W 14.381104°		 ← 108.16 m →
11 701 m²		 N 69.259067°
W 14.378357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460056304931641 y=0.229709625244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460056304931641 × 217)
    floor (0.460056304931641 × 131072)
    floor (60300.5)     		tx = 60300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229709625244141 × 217)
    floor (0.229709625244141 × 131072)
    floor (30108.5)     		ty = 30108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60300 / 30108 ti = "17/60300/30108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60300/30108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60300 ÷ 217
    60300 ÷ 131072     		x = 0.460052490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30108 ÷ 217
    30108 ÷ 131072     		y = 0.229705810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460052490234375 × 2 - 1) × π
    -0.07989501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25099761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229705810546875 × 2 - 1) × π
    0.54058837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69830847973935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25099761} λ = -0.25099761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69830847973935))-π/2
    2×atan(5.4646959255355)-π/2
    2×1.38980603362108-π/2
    2.77961206724217-1.57079632675     		φ = 1.20881574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25099761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.381104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20881574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.260040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60300 KachelY 30108 -0.25099761 1.20881574 -14.381104 69.260040
    Oben rechts KachelX + 1 60301 KachelY 30108 -0.25094967 1.20881574 -14.378357 69.260040
    Unten links KachelX 60300 KachelY + 1 30109 -0.25099761 1.20879876 -14.381104 69.259067
    Unten rechts KachelX + 1 60301 KachelY + 1 30109 -0.25094967 1.20879876 -14.378357 69.259067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20881574-1.20879876) × R
    1.69799999998332e-05 × 6371000     		dl = 108.179579998938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20881574-1.20879876) × R
    1.69799999998332e-05 × 6371000     		dr = 108.179579998938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25099761--0.25094967) × cos(1.20881574) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.354127166016498 × 6371000     		do = 108.159551734621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25099761--0.25094967) × cos(1.20879876) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.35414304561524 × 6371000     		du = 108.164401772818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20881574)-sin(1.20879876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354127166016498-0.35414304561524)×R²
    abs(-0.25094967--0.25099761)×1.58795987422189e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58795987422189e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58795987422189e-05×40589641000000     		ar = 11700.9172172139m²