Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 603 / 1121
↖ ↑ ↗
← N 62.875189°
W127.001953°		 ← 4 455.80 m → N 62.875189°
W126.914063°		 →
↑
4 458.87 m
↓
↑
4 458.87 m
↓
N 62.835089°
W127.001953°		 ← 4 461.89 m →
19 881 417 m²		 N 62.835089°
W126.914063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1473388671875 y=0.2738037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1473388671875 × 212)
    floor (0.1473388671875 × 4096)
    floor (603.5)     		tx = 603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2738037109375 × 212)
    floor (0.2738037109375 × 4096)
    floor (1121.5)     		ty = 1121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 603 / 1121 ti = "12/603/1121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/603/1121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 603 ÷ 212
    603 ÷ 4096     		x = 0.147216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1121 ÷ 212
    1121 ÷ 4096     		y = 0.273681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.147216796875 × 2 - 1) × π
    -0.70556640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.21660224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273681640625 × 2 - 1) × π
    0.45263671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.42200019032935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.21660224} λ = -2.21660224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42200019032935))-π/2
    2×atan(4.1454037498836)-π/2
    2×1.33408769090894-π/2
    2.66817538181788-1.57079632675     		φ = 1.09737906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.21660224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.001953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09737906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.875189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 603 KachelY 1121 -2.21660224 1.09737906 -127.001953 62.875189
    Oben rechts KachelX + 1 604 KachelY 1121 -2.21506826 1.09737906 -126.914063 62.875189
    Unten links KachelX 603 KachelY + 1 1122 -2.21660224 1.09667919 -127.001953 62.835089
    Unten rechts KachelX + 1 604 KachelY + 1 1122 -2.21506826 1.09667919 -126.914063 62.835089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09737906-1.09667919) × R
    0.000699870000000047 × 6371000     		dl = 4458.8717700003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09737906-1.09667919) × R
    0.000699870000000047 × 6371000     		dr = 4458.8717700003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.21660224--2.21506826) × cos(1.09737906) × R
    0.00153398000000005 × 0.455930361820595 × 6371000     		do = 4455.80130748735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.21660224--2.21506826) × cos(1.09667919) × R
    0.00153398000000005 × 0.456553145222833 × 6371000     		du = 4461.88776131967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09737906)-sin(1.09667919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455930361820595-0.456553145222833)×R²
    abs(-2.21506826--2.21660224)×0.000622783402238147×R²
    0.00153398000000005×0.000622783402238147×6371000²
    0.00153398000000005×0.000622783402238147×40589641000000     		ar = 19881416.8327957m²