Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60298 / 27265
↖ ↑ ↗
← N 71.855373°
W 14.386597°		 ← 95.11 m → N 71.855373°
W 14.383850°		 →
↑
95.06 m
↓
↑
95.06 m
↓
N 71.854518°
W 14.386597°		 ← 95.12 m →
9 041 m²		 N 71.854518°
W 14.383850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460041046142578 y=0.208019256591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460041046142578 × 217)
    floor (0.460041046142578 × 131072)
    floor (60298.5)     		tx = 60298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208019256591797 × 217)
    floor (0.208019256591797 × 131072)
    floor (27265.5)     		ty = 27265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60298 / 27265 ti = "17/60298/27265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60298/27265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60298 ÷ 217
    60298 ÷ 131072     		x = 0.460037231445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27265 ÷ 217
    27265 ÷ 131072     		y = 0.208015441894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460037231445312 × 2 - 1) × π
    -0.079925537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25109348
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208015441894531 × 2 - 1) × π
    0.583969116210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.83459308535917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25109348} λ = -0.25109348}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83459308535917))-π/2
    2×atan(6.26258528924379)-π/2
    2×1.41245459041194-π/2
    2.82490918082389-1.57079632675     		φ = 1.25411285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25109348} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.386597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25411285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.855373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60298 KachelY 27265 -0.25109348 1.25411285 -14.386597 71.855373
    Oben rechts KachelX + 1 60299 KachelY 27265 -0.25104554 1.25411285 -14.383850 71.855373
    Unten links KachelX 60298 KachelY + 1 27266 -0.25109348 1.25409793 -14.386597 71.854518
    Unten rechts KachelX + 1 60299 KachelY + 1 27266 -0.25104554 1.25409793 -14.383850 71.854518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25411285-1.25409793) × R
    1.49200000001404e-05 × 6371000     		dl = 95.0553200008943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25411285-1.25409793) × R
    1.49200000001404e-05 × 6371000     		dr = 95.0553200008943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25109348--0.25104554) × cos(1.25411285) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.311416675087698 × 6371000     		do = 95.1146684369374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25109348--0.25104554) × cos(1.25409793) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.311430853133104 × 6371000     		du = 95.1189987769472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25411285)-sin(1.25409793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311416675087698-0.311430853133104)×R²
    abs(-0.25104554--0.25109348)×1.41780454058216e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.41780454058216e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.41780454058216e-05×40589641000000     		ar = 9041.36105624522m²