Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60298 / 27253
↖ ↑ ↗
← N 71.865635°
W 14.386597°		 ← 95.06 m → N 71.865635°
W 14.383850°		 →
↑
95.12 m
↓
↑
95.12 m
↓
N 71.864780°
W 14.386597°		 ← 95.07 m →
9 042 m²		 N 71.864780°
W 14.383850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460041046142578 y=0.207927703857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460041046142578 × 217)
    floor (0.460041046142578 × 131072)
    floor (60298.5)     		tx = 60298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207927703857422 × 217)
    floor (0.207927703857422 × 131072)
    floor (27253.5)     		ty = 27253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60298 / 27253 ti = "17/60298/27253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60298/27253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60298 ÷ 217
    60298 ÷ 131072     		x = 0.460037231445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27253 ÷ 217
    27253 ÷ 131072     		y = 0.207923889160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460037231445312 × 2 - 1) × π
    -0.079925537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25109348
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207923889160156 × 2 - 1) × π
    0.584152221679688 × 3.1415926535     		Φ = 1.83516832815461
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25109348} λ = -0.25109348}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83516832815461))-π/2
    2×atan(6.26618883266908)-π/2
    2×1.41254413603298-π/2
    2.82508827206596-1.57079632675     		φ = 1.25429195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25109348} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.386597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25429195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.865635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60298 KachelY 27253 -0.25109348 1.25429195 -14.386597 71.865635
    Oben rechts KachelX + 1 60299 KachelY 27253 -0.25104554 1.25429195 -14.383850 71.865635
    Unten links KachelX 60298 KachelY + 1 27254 -0.25109348 1.25427702 -14.386597 71.864780
    Unten rechts KachelX + 1 60299 KachelY + 1 27254 -0.25104554 1.25427702 -14.383850 71.864780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25429195-1.25427702) × R
    1.49300000000796e-05 × 6371000     		dl = 95.1190300005071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25429195-1.25427702) × R
    1.49300000000796e-05 × 6371000     		dr = 95.1190300005071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25109348--0.25104554) × cos(1.25429195) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.311246476116758 × 6371000     		do = 95.0626852902909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25109348--0.25104554) × cos(1.25427702) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.31126066449736 × 6371000     		du = 95.0670187869357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25429195)-sin(1.25427702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311246476116758-0.31126066449736)×R²
    abs(-0.25104554--0.25109348)×1.41883806020204e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.41883806020204e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.41883806020204e-05×40589641000000     		ar = 9042.47651328232m²