Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60298 / 27249
↖ ↑ ↗
← N 71.869054°
W 14.386597°		 ← 95.05 m → N 71.869054°
W 14.383850°		 →
↑
95.06 m
↓
↑
95.06 m
↓
N 71.868199°
W 14.386597°		 ← 95.05 m →
9 035 m²		 N 71.868199°
W 14.383850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460041046142578 y=0.207897186279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460041046142578 × 217)
    floor (0.460041046142578 × 131072)
    floor (60298.5)     		tx = 60298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207897186279297 × 217)
    floor (0.207897186279297 × 131072)
    floor (27249.5)     		ty = 27249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60298 / 27249 ti = "17/60298/27249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60298/27249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60298 ÷ 217
    60298 ÷ 131072     		x = 0.460037231445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27249 ÷ 217
    27249 ÷ 131072     		y = 0.207893371582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460037231445312 × 2 - 1) × π
    -0.079925537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25109348
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207893371582031 × 2 - 1) × π
    0.584213256835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.83536007575309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25109348} λ = -0.25109348}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83536007575309))-π/2
    2×atan(6.26739047453166)-π/2
    2×1.41257397369691-π/2
    2.82514794739383-1.57079632675     		φ = 1.25435162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25109348} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.386597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25435162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.869054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60298 KachelY 27249 -0.25109348 1.25435162 -14.386597 71.869054
    Oben rechts KachelX + 1 60299 KachelY 27249 -0.25104554 1.25435162 -14.383850 71.869054
    Unten links KachelX 60298 KachelY + 1 27250 -0.25109348 1.25433670 -14.386597 71.868199
    Unten rechts KachelX + 1 60299 KachelY + 1 27250 -0.25104554 1.25433670 -14.383850 71.868199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25435162-1.25433670) × R
    1.49199999999183e-05 × 6371000     		dl = 95.0553199994797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25435162-1.25433670) × R
    1.49199999999183e-05 × 6371000     		dr = 95.0553199994797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25109348--0.25104554) × cos(1.25435162) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.311189769417989 × 6371000     		do = 95.0453656048562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25109348--0.25104554) × cos(1.25433670) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.311203948572421 × 6371000     		du = 95.0496962835914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25435162)-sin(1.25433670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311189769417989-0.311203948572421)×R²
    abs(-0.25104554--0.25109348)×1.41791544325809e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.41791544325809e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.41791544325809e-05×40589641000000     		ar = 9034.77346933417m²