Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60296 / 83160
↖ ↑ ↗
← S 43.500753°
W 14.392090°		 ← 221.50 m → S 43.500753°
W 14.389343°		 →
↑
221.52 m
↓
↑
221.52 m
↓
S 43.502745°
W 14.392090°		 ← 221.49 m →
49 066 m²		 S 43.502745°
W 14.389343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460025787353516 y=0.634464263916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460025787353516 × 217)
    floor (0.460025787353516 × 131072)
    floor (60296.5)     		tx = 60296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634464263916016 × 217)
    floor (0.634464263916016 × 131072)
    floor (83160.5)     		ty = 83160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60296 / 83160 ti = "17/60296/83160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60296/83160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60296 ÷ 217
    60296 ÷ 131072     		x = 0.46002197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83160 ÷ 217
    83160 ÷ 131072     		y = 0.63446044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46002197265625 × 2 - 1) × π
    -0.0799560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25118935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63446044921875 × 2 - 1) × π
    -0.2689208984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.84483991890387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25118935} λ = -0.25118935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.84483991890387))-π/2
    2×atan(0.429626127727695)-π/2
    2×0.405782484857336-π/2
    0.811564969714672-1.57079632675     		φ = -0.75923136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25118935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.392090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75923136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.500753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60296 KachelY 83160 -0.25118935 -0.75923136 -14.392090 -43.500753
    Oben rechts KachelX + 1 60297 KachelY 83160 -0.25114142 -0.75923136 -14.389343 -43.500753
    Unten links KachelX 60296 KachelY + 1 83161 -0.25118935 -0.75926613 -14.392090 -43.502745
    Unten rechts KachelX + 1 60297 KachelY + 1 83161 -0.25114142 -0.75926613 -14.389343 -43.502745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75923136--0.75926613) × R
    3.47699999999618e-05 × 6371000     		dl = 221.519669999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75923136--0.75926613) × R
    3.47699999999618e-05 × 6371000     		dr = 221.519669999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25118935--0.25114142) × cos(-0.75923136) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.725365329149086 × 6371000     		do = 221.499029400462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25118935--0.25114142) × cos(-0.75926613) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.725341394290739 × 6371000     		du = 221.491720603529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75923136)-sin(-0.75926613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725365329149086-0.725341394290739)×R²
    abs(-0.25114142--0.25118935)×2.39348583471743e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39348583471743e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39348583471743e-05×40589641000000     		ar = 49065.5823819001m²