Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60294 / 40252
↖ ↑ ↗
← N 56.854980°
W 14.397583°		 ← 166.99 m → N 56.854980°
W 14.394836°		 →
↑
166.98 m
↓
↑
166.98 m
↓
N 56.853478°
W 14.397583°		 ← 167 m →
27 886 m²		 N 56.853478°
W 14.394836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460010528564453 y=0.307102203369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460010528564453 × 217)
    floor (0.460010528564453 × 131072)
    floor (60294.5)     		tx = 60294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307102203369141 × 217)
    floor (0.307102203369141 × 131072)
    floor (40252.5)     		ty = 40252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60294 / 40252 ti = "17/60294/40252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60294/40252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60294 ÷ 217
    60294 ÷ 131072     		x = 0.460006713867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40252 ÷ 217
    40252 ÷ 131072     		y = 0.307098388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460006713867188 × 2 - 1) × π
    -0.079986572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25128523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307098388671875 × 2 - 1) × π
    0.38580322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.2120365699935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25128523} λ = -0.25128523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2120365699935))-π/2
    2×atan(3.36032121797512)-π/2
    2×1.28155145627295-π/2
    2.56310291254591-1.57079632675     		φ = 0.99230659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25128523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.397583°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99230659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.854980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60294 KachelY 40252 -0.25128523 0.99230659 -14.397583 56.854980
    Oben rechts KachelX + 1 60295 KachelY 40252 -0.25123729 0.99230659 -14.394836 56.854980
    Unten links KachelX 60294 KachelY + 1 40253 -0.25128523 0.99228038 -14.397583 56.853478
    Unten rechts KachelX + 1 60295 KachelY + 1 40253 -0.25123729 0.99228038 -14.394836 56.853478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99230659-0.99228038) × R
    2.62100000000265e-05 × 6371000     		dl = 166.983910000169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99230659-0.99228038) × R
    2.62100000000265e-05 × 6371000     		dr = 166.983910000169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25128523--0.25123729) × cos(0.99230659) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.546760033517102 × 6371000     		do = 166.99458783947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25128523--0.25123729) × cos(0.99228038) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.546781978683319 × 6371000     		du = 167.001290458101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99230659)-sin(0.99228038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546760033517102-0.546781978683319)×R²
    abs(-0.25123729--0.25128523)×2.19451662172299e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19451662172299e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19451662172299e-05×40589641000000     		ar = 27885.9688425458m²