Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60293 / 40074
↖ ↑ ↗
← N 57.121332°
W 14.400329°		 ← 165.77 m → N 57.121332°
W 14.397583°		 →
↑
165.77 m
↓
↑
165.77 m
↓
N 57.119841°
W 14.400329°		 ← 165.78 m →
27 481 m²		 N 57.119841°
W 14.397583°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460002899169922 y=0.305744171142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460002899169922 × 217)
    floor (0.460002899169922 × 131072)
    floor (60293.5)     		tx = 60293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305744171142578 × 217)
    floor (0.305744171142578 × 131072)
    floor (40074.5)     		ty = 40074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60293 / 40074 ti = "17/60293/40074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60293/40074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60293 ÷ 217
    60293 ÷ 131072     		x = 0.459999084472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40074 ÷ 217
    40074 ÷ 131072     		y = 0.305740356445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459999084472656 × 2 - 1) × π
    -0.0800018310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25133316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305740356445312 × 2 - 1) × π
    0.388519287109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.22056933812587
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25133316} λ = -0.25133316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22056933812587))-π/2
    2×atan(3.38911673781327)-π/2
    2×1.28387582318079-π/2
    2.56775164636159-1.57079632675     		φ = 0.99695532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25133316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.400329°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99695532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.121332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60293 KachelY 40074 -0.25133316 0.99695532 -14.400329 57.121332
    Oben rechts KachelX + 1 60294 KachelY 40074 -0.25128523 0.99695532 -14.397583 57.121332
    Unten links KachelX 60293 KachelY + 1 40075 -0.25133316 0.99692930 -14.400329 57.119841
    Unten rechts KachelX + 1 60294 KachelY + 1 40075 -0.25128523 0.99692930 -14.397583 57.119841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99695532-0.99692930) × R
    2.601999999996e-05 × 6371000     		dl = 165.773419999745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99695532-0.99692930) × R
    2.601999999996e-05 × 6371000     		dr = 165.773419999745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25133316--0.25128523) × cos(0.99695532) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.542861807467962 × 6371000     		do = 165.769383537796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25133316--0.25128523) × cos(0.99692930) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.542883659453657 × 6371000     		du = 165.776056304507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99695532)-sin(0.99692930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542861807467962-0.542883659453657)×R²
    abs(-0.25128523--0.25133316)×2.18519856950428e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.18519856950428e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.18519856950428e-05×40589641000000     		ar = 27480.7107255352m²