Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60293 / 30092
↖ ↑ ↗
← N 69.275597°
W 14.400329°		 ← 108.06 m → N 69.275597°
W 14.397583°		 →
↑
108.12 m
↓
↑
108.12 m
↓
N 69.274625°
W 14.400329°		 ← 108.06 m →
11 683 m²		 N 69.274625°
W 14.397583°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460002899169922 y=0.229587554931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460002899169922 × 217)
    floor (0.460002899169922 × 131072)
    floor (60293.5)     		tx = 60293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229587554931641 × 217)
    floor (0.229587554931641 × 131072)
    floor (30092.5)     		ty = 30092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60293 / 30092 ti = "17/60293/30092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60293/30092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60293 ÷ 217
    60293 ÷ 131072     		x = 0.459999084472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30092 ÷ 217
    30092 ÷ 131072     		y = 0.229583740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459999084472656 × 2 - 1) × π
    -0.0800018310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25133316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229583740234375 × 2 - 1) × π
    0.54083251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.69907547013327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25133316} λ = -0.25133316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69907547013327))-π/2
    2×atan(5.4688889025971)-π/2
    2×1.38994179099219-π/2
    2.77988358198439-1.57079632675     		φ = 1.20908726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25133316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.400329°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20908726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.275597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60293 KachelY 30092 -0.25133316 1.20908726 -14.400329 69.275597
    Oben rechts KachelX + 1 60294 KachelY 30092 -0.25128523 1.20908726 -14.397583 69.275597
    Unten links KachelX 60293 KachelY + 1 30093 -0.25133316 1.20907029 -14.400329 69.274625
    Unten rechts KachelX + 1 60294 KachelY + 1 30093 -0.25128523 1.20907029 -14.397583 69.274625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20908726-1.20907029) × R
    1.6969999999894e-05 × 6371000     		dl = 108.115869999325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20908726-1.20907029) × R
    1.6969999999894e-05 × 6371000     		dr = 108.115869999325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25133316--0.25128523) × cos(1.20908726) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.353873228200798 × 6371000     		do = 108.05944732599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25133316--0.25128523) × cos(1.20907029) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.353889100078789 × 6371000     		du = 108.064293994873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20908726)-sin(1.20907029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353873228200798-0.353889100078789)×R²
    abs(-0.25128523--0.25133316)×1.58718779908473e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.58718779908473e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.58718779908473e-05×40589641000000     		ar = 11683.2031603494m²