Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60293 / 14722
↖ ↑ ↗
← N 69.896342°
E151.199341°		 ← 209.96 m → N 69.896342°
E151.204834°		 →
↑
209.99 m
↓
↑
209.99 m
↓
N 69.894453°
E151.199341°		 ← 209.98 m →
44 091 m²		 N 69.894453°
E151.204834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.920005798339844 y=0.224647521972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.920005798339844 × 216)
    floor (0.920005798339844 × 65536)
    floor (60293.5)     		tx = 60293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224647521972656 × 216)
    floor (0.224647521972656 × 65536)
    floor (14722.5)     		ty = 14722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60293 / 14722 ti = "16/60293/14722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60293/14722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60293 ÷ 216
    60293 ÷ 65536     		x = 0.919998168945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14722 ÷ 216
    14722 ÷ 65536     		y = 0.224639892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919998168945312 × 2 - 1) × π
    0.839996337890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.63892632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224639892578125 × 2 - 1) × π
    0.55072021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.73013858108707
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63892632} λ = 2.63892632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73013858108707))-π/2
    2×atan(5.6414356505448)-π/2
    2×1.39535881270512-π/2
    2.79071762541024-1.57079632675     		φ = 1.21992130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63892632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.199341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21992130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.896342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60293 KachelY 14722 2.63892632 1.21992130 151.199341 69.896342
    Oben rechts KachelX + 1 60294 KachelY 14722 2.63902220 1.21992130 151.204834 69.896342
    Unten links KachelX 60293 KachelY + 1 14723 2.63892632 1.21988834 151.199341 69.894453
    Unten rechts KachelX + 1 60294 KachelY + 1 14723 2.63902220 1.21988834 151.204834 69.894453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21992130-1.21988834) × R
    3.29599999999708e-05 × 6371000     		dl = 209.988159999814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21992130-1.21988834) × R
    3.29599999999708e-05 × 6371000     		dr = 209.988159999814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63892632-2.63902220) × cos(1.21992130) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.343719652371095 × 6371000     		do = 209.961658355831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63892632-2.63902220) × cos(1.21988834) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.343750604007676 × 6371000     		du = 209.980565208845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21992130)-sin(1.21988834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343719652371095-0.343750604007676)×R²
    abs(2.63902220-2.63892632)×3.09516365803453e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.09516365803453e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.09516365803453e-05×40589641000000     		ar = 44091.4474204663m²