Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60292 / 39963
↖ ↑ ↗
← N 57.286466°
W 14.403076°		 ← 165.06 m → N 57.286466°
W 14.400329°		 →
↑
165.07 m
↓
↑
165.07 m
↓
N 57.284981°
W 14.403076°		 ← 165.07 m →
27 248 m²		 N 57.284981°
W 14.400329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459995269775391 y=0.304897308349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459995269775391 × 217)
    floor (0.459995269775391 × 131072)
    floor (60292.5)     		tx = 60292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304897308349609 × 217)
    floor (0.304897308349609 × 131072)
    floor (39963.5)     		ty = 39963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60292 / 39963 ti = "17/60292/39963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60292/39963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60292 ÷ 217
    60292 ÷ 131072     		x = 0.459991455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39963 ÷ 217
    39963 ÷ 131072     		y = 0.304893493652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459991455078125 × 2 - 1) × π
    -0.08001708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25138110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304893493652344 × 2 - 1) × π
    0.390213012695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.2258903339837
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25138110} λ = -0.25138110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2258903339837))-π/2
    2×atan(3.40719827717302)-π/2
    2×1.28531688167486-π/2
    2.57063376334971-1.57079632675     		φ = 0.99983744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25138110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.403076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99983744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.286466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60292 KachelY 39963 -0.25138110 0.99983744 -14.403076 57.286466
    Oben rechts KachelX + 1 60293 KachelY 39963 -0.25133316 0.99983744 -14.400329 57.286466
    Unten links KachelX 60292 KachelY + 1 39964 -0.25138110 0.99981153 -14.403076 57.284981
    Unten rechts KachelX + 1 60293 KachelY + 1 39964 -0.25133316 0.99981153 -14.400329 57.284981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99983744-0.99981153) × R
    2.59099999999624e-05 × 6371000     		dl = 165.07260999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99983744-0.99981153) × R
    2.59099999999624e-05 × 6371000     		dr = 165.07260999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25138110--0.25133316) × cos(0.99983744) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.54043908825188 × 6371000     		do = 165.064008454339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25138110--0.25133316) × cos(0.99981153) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.540460888307684 × 6371000     		du = 165.070666752515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99983744)-sin(0.99981153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54043908825188-0.540460888307684)×R²
    abs(-0.25133316--0.25138110)×2.18000558045439e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.18000558045439e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.18000558045439e-05×40589641000000     		ar = 27248.0962456187m²