Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60292 / 14740
↖ ↑ ↗
← N 69.862328°
E151.193848°		 ← 210.28 m → N 69.862328°
E151.199341°		 →
↑
210.31 m
↓
↑
210.31 m
↓
N 69.860437°
E151.193848°		 ← 210.30 m →
44 225 m²		 N 69.860437°
E151.199341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919990539550781 y=0.224922180175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919990539550781 × 216)
    floor (0.919990539550781 × 65536)
    floor (60292.5)     		tx = 60292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224922180175781 × 216)
    floor (0.224922180175781 × 65536)
    floor (14740.5)     		ty = 14740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60292 / 14740 ti = "16/60292/14740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60292/14740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60292 ÷ 216
    60292 ÷ 65536     		x = 0.91998291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14740 ÷ 216
    14740 ÷ 65536     		y = 0.22491455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91998291015625 × 2 - 1) × π
    0.8399658203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.63883045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22491455078125 × 2 - 1) × π
    0.5501708984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.72841285270074
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63883045} λ = 2.63883045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72841285270074))-π/2
    2×atan(5.63170846056106)-π/2
    2×1.39506198889193-π/2
    2.79012397778387-1.57079632675     		φ = 1.21932765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63883045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.193848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21932765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.862328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60292 KachelY 14740 2.63883045 1.21932765 151.193848 69.862328
    Oben rechts KachelX + 1 60293 KachelY 14740 2.63892632 1.21932765 151.199341 69.862328
    Unten links KachelX 60292 KachelY + 1 14741 2.63883045 1.21929464 151.193848 69.860437
    Unten rechts KachelX + 1 60293 KachelY + 1 14741 2.63892632 1.21929464 151.199341 69.860437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21932765-1.21929464) × R
    3.3010000000111e-05 × 6371000     		dl = 210.306710000707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21932765-1.21929464) × R
    3.3010000000111e-05 × 6371000     		dr = 210.306710000707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63883045-2.63892632) × cos(1.21932765) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344277072047393 × 6371000     		do = 210.280225097952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63883045-2.63892632) × cos(1.21929464) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344308063895593 × 6371000     		du = 210.299154539802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21932765)-sin(1.21929464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344277072047393-0.344308063895593)×R²
    abs(2.63892632-2.63883045)×3.0991848200157e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.0991848200157e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.0991848200157e-05×40589641000000     		ar = 44225.3328166494m²