Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60291 / 40157
↖ ↑ ↗
← N 56.997371°
W 14.405823°		 ← 166.36 m → N 56.997371°
W 14.403076°		 →
↑
166.35 m
↓
↑
166.35 m
↓
N 56.995875°
W 14.405823°		 ← 166.37 m →
27 674 m²		 N 56.995875°
W 14.403076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459987640380859 y=0.306377410888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459987640380859 × 217)
    floor (0.459987640380859 × 131072)
    floor (60291.5)     		tx = 60291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306377410888672 × 217)
    floor (0.306377410888672 × 131072)
    floor (40157.5)     		ty = 40157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60291 / 40157 ti = "17/60291/40157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60291/40157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60291 ÷ 217
    60291 ÷ 131072     		x = 0.459983825683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40157 ÷ 217
    40157 ÷ 131072     		y = 0.306373596191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459983825683594 × 2 - 1) × π
    -0.0800323486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25142904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306373596191406 × 2 - 1) × π
    0.387252807617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.21659057545741
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25142904} λ = -0.25142904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21659057545741))-π/2
    2×atan(3.37565903691034)-π/2
    2×1.28279405854895-π/2
    2.56558811709791-1.57079632675     		φ = 0.99479179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25142904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.405823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99479179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.997371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60291 KachelY 40157 -0.25142904 0.99479179 -14.405823 56.997371
    Oben rechts KachelX + 1 60292 KachelY 40157 -0.25138110 0.99479179 -14.403076 56.997371
    Unten links KachelX 60291 KachelY + 1 40158 -0.25142904 0.99476568 -14.405823 56.995875
    Unten rechts KachelX + 1 60292 KachelY + 1 40158 -0.25138110 0.99476568 -14.403076 56.995875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99479179-0.99476568) × R
    2.61099999999681e-05 × 6371000     		dl = 166.346809999797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99479179-0.99476568) × R
    2.61099999999681e-05 × 6371000     		dr = 166.346809999797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25142904--0.25138110) × cos(0.99479179) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.544677515697405 × 6371000     		do = 166.358533293132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25142904--0.25138110) × cos(0.99476568) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.544699412547757 × 6371000     		du = 166.365221154855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99479179)-sin(0.99476568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544677515697405-0.544699412547757)×R²
    abs(-0.25138110--0.25142904)×2.18968503520323e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.18968503520323e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.18968503520323e-05×40589641000000     		ar = 27673.7675835564m²