Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60291 / 14719
↖ ↑ ↗
← N 69.902006°
E151.188355°		 ← 209.88 m → N 69.902006°
E151.193848°		 →
↑
209.92 m
↓
↑
209.92 m
↓
N 69.900118°
E151.188355°		 ← 209.90 m →
44 062 m²		 N 69.900118°
E151.193848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919975280761719 y=0.224601745605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919975280761719 × 216)
    floor (0.919975280761719 × 65536)
    floor (60291.5)     		tx = 60291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224601745605469 × 216)
    floor (0.224601745605469 × 65536)
    floor (14719.5)     		ty = 14719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60291 / 14719 ti = "16/60291/14719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60291/14719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60291 ÷ 216
    60291 ÷ 65536     		x = 0.919967651367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14719 ÷ 216
    14719 ÷ 65536     		y = 0.224594116210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919967651367188 × 2 - 1) × π
    0.839935302734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.63873458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224594116210938 × 2 - 1) × π
    0.550811767578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73042620248479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63873458} λ = 2.63873458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73042620248479))-π/2
    2×atan(5.64305848152103)-π/2
    2×1.39540823659372-π/2
    2.79081647318743-1.57079632675     		φ = 1.22002015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63873458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.188355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22002015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.902006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60291 KachelY 14719 2.63873458 1.22002015 151.188355 69.902006
    Oben rechts KachelX + 1 60292 KachelY 14719 2.63883045 1.22002015 151.193848 69.902006
    Unten links KachelX 60291 KachelY + 1 14720 2.63873458 1.21998720 151.188355 69.900118
    Unten rechts KachelX + 1 60292 KachelY + 1 14720 2.63883045 1.21998720 151.193848 69.900118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22002015-1.21998720) × R
    3.29500000000316e-05 × 6371000     		dl = 209.924450000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22002015-1.21998720) × R
    3.29500000000316e-05 × 6371000     		dr = 209.924450000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63873458-2.63883045) × cos(1.22002015) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343626823394254 × 6371000     		do = 209.883061173156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63873458-2.63883045) × cos(1.21998720) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343657766759656 × 6371000     		du = 209.901961002306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22002015)-sin(1.21998720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343626823394254-0.343657766759656)×R²
    abs(2.63883045-2.63873458)×3.09433654016589e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.09433654016589e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.09433654016589e-05×40589641000000     		ar = 44061.5699528496m²