Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60290 / 60032
↖ ↑ ↗
← S 81.621352°
E151.182861°		 ← 89.01 m → S 81.621352°
E151.188355°		 →
↑
89 m
↓
↑
89 m
↓
S 81.622152°
E151.182861°		 ← 89 m →
7 922 m²		 S 81.622152°
E151.188355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919960021972656 y=0.916023254394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919960021972656 × 216)
    floor (0.919960021972656 × 65536)
    floor (60290.5)     		tx = 60290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916023254394531 × 216)
    floor (0.916023254394531 × 65536)
    floor (60032.5)     		ty = 60032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60290 / 60032 ti = "16/60290/60032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60290/60032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60290 ÷ 216
    60290 ÷ 65536     		x = 0.919952392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60032 ÷ 216
    60032 ÷ 65536     		y = 0.916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919952392578125 × 2 - 1) × π
    0.83990478515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.63863870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916015625 × 2 - 1) × π
    -0.83203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.61390326248242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63863870} λ = 2.63863870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61390326248242))-π/2
    2×atan(0.0732480785753369)-π/2
    2×0.0731174998314953-π/2
    0.146234999662991-1.57079632675     		φ = -1.42456133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63863870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.182861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42456133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.621352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60290 KachelY 60032 2.63863870 -1.42456133 151.182861 -81.621352
    Oben rechts KachelX + 1 60291 KachelY 60032 2.63873458 -1.42456133 151.188355 -81.621352
    Unten links KachelX 60290 KachelY + 1 60033 2.63863870 -1.42457530 151.182861 -81.622152
    Unten rechts KachelX + 1 60291 KachelY + 1 60033 2.63873458 -1.42457530 151.188355 -81.622152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42456133--1.42457530) × R
    1.39700000001408e-05 × 6371000     		dl = 89.0028700008971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42456133--1.42457530) × R
    1.39700000001408e-05 × 6371000     		dr = 89.0028700008971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63863870-2.63873458) × cos(-1.42456133) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.145714355831018 × 6371000     		do = 89.0098299165655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63863870-2.63873458) × cos(-1.42457530) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.14570053492275 × 6371000     		du = 89.001387394295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42456133)-sin(-1.42457530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145714355831018-0.14570053492275)×R²
    abs(2.63873458-2.63863870)×1.38209082681806e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.38209082681806e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.38209082681806e-05×40589641000000     		ar = 7921.7546164638m²