Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60290 / 40209
↖ ↑ ↗
← N 56.919498°
W 14.408570°		 ← 166.71 m → N 56.919498°
W 14.405823°		 →
↑
166.67 m
↓
↑
166.67 m
↓
N 56.917999°
W 14.408570°		 ← 166.71 m →
27 785 m²		 N 56.917999°
W 14.405823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459980010986328 y=0.306774139404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459980010986328 × 217)
    floor (0.459980010986328 × 131072)
    floor (60290.5)     		tx = 60290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306774139404297 × 217)
    floor (0.306774139404297 × 131072)
    floor (40209.5)     		ty = 40209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60290 / 40209 ti = "17/60290/40209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60290/40209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60290 ÷ 217
    60290 ÷ 131072     		x = 0.459976196289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40209 ÷ 217
    40209 ÷ 131072     		y = 0.306770324707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459976196289062 × 2 - 1) × π
    -0.080047607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25147698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306770324707031 × 2 - 1) × π
    0.386459350585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.21409785667716
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25147698} λ = -0.25147698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21409785667716))-π/2
    2×atan(3.36725494710125)-π/2
    2×1.28211448474229-π/2
    2.56422896948457-1.57079632675     		φ = 0.99343264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25147698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.408570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99343264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.919498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60290 KachelY 40209 -0.25147698 0.99343264 -14.408570 56.919498
    Oben rechts KachelX + 1 60291 KachelY 40209 -0.25142904 0.99343264 -14.405823 56.919498
    Unten links KachelX 60290 KachelY + 1 40210 -0.25147698 0.99340648 -14.408570 56.917999
    Unten rechts KachelX + 1 60291 KachelY + 1 40210 -0.25142904 0.99340648 -14.405823 56.917999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99343264-0.99340648) × R
    2.61599999999973e-05 × 6371000     		dl = 166.665359999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99343264-0.99340648) × R
    2.61599999999973e-05 × 6371000     		dr = 166.665359999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25147698--0.25142904) × cos(0.99343264) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.545816857394267 × 6371000     		do = 166.706517574202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25147698--0.25142904) × cos(0.99340648) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.545838776789331 × 6371000     		du = 166.71321232166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99343264)-sin(0.99340648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545816857394267-0.545838776789331)×R²
    abs(-0.25142904--0.25147698)×2.19193950640184e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19193950640184e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19193950640184e-05×40589641000000     		ar = 27784.7596586857m²