Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60289 / 60034
↖ ↑ ↗
← S 81.622952°
E151.177368°		 ← 88.98 m → S 81.622952°
E151.182861°		 →
↑
89 m
↓
↑
89 m
↓
S 81.623753°
E151.177368°		 ← 88.98 m →
7 919 m²		 S 81.623753°
E151.182861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919944763183594 y=0.916053771972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919944763183594 × 216)
    floor (0.919944763183594 × 65536)
    floor (60289.5)     		tx = 60289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916053771972656 × 216)
    floor (0.916053771972656 × 65536)
    floor (60034.5)     		ty = 60034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60289 / 60034 ti = "16/60289/60034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60289/60034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60289 ÷ 216
    60289 ÷ 65536     		x = 0.919937133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60034 ÷ 216
    60034 ÷ 65536     		y = 0.916046142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919937133789062 × 2 - 1) × π
    0.839874267578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.63854283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916046142578125 × 2 - 1) × π
    -0.83209228515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.6140950100809
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63854283} λ = 2.63854283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6140950100809))-π/2
    2×atan(0.0732340347786519)-π/2
    2×0.0731035309673235-π/2
    0.146207061934647-1.57079632675     		φ = -1.42458926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63854283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.177368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42458926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.622952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60289 KachelY 60034 2.63854283 -1.42458926 151.177368 -81.622952
    Oben rechts KachelX + 1 60290 KachelY 60034 2.63863870 -1.42458926 151.182861 -81.622952
    Unten links KachelX 60289 KachelY + 1 60035 2.63854283 -1.42460323 151.177368 -81.623753
    Unten rechts KachelX + 1 60290 KachelY + 1 60035 2.63863870 -1.42460323 151.182861 -81.623753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42458926--1.42460323) × R
    1.39699999999188e-05 × 6371000     		dl = 89.0028699994825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42458926--1.42460323) × R
    1.39699999999188e-05 × 6371000     		dr = 89.0028699994825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63854283-2.63863870) × cos(-1.42458926) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.145686723879354 × 6371000     		do = 88.9836691968746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63854283-2.63863870) × cos(-1.42460323) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.145672902914239 × 6371000     		du = 88.9752275204128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42458926)-sin(-1.42460323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145686723879354-0.145672902914239)×R²
    abs(2.63863870-2.63854283)×1.38209651150412e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.38209651150412e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.38209651150412e-05×40589641000000     		ar = 7919.42627492816m²