Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60288 / 40320
↖ ↑ ↗
← N 56.752723°
W 14.414063°		 ← 167.45 m → N 56.752723°
W 14.411316°		 →
↑
167.43 m
↓
↑
167.43 m
↓
N 56.751217°
W 14.414063°		 ← 167.46 m →
28 037 m²		 N 56.751217°
W 14.411316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459964752197266 y=0.307621002197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459964752197266 × 217)
    floor (0.459964752197266 × 131072)
    floor (60288.5)     		tx = 60288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307621002197266 × 217)
    floor (0.307621002197266 × 131072)
    floor (40320.5)     		ty = 40320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60288 / 40320 ti = "17/60288/40320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60288/40320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60288 ÷ 217
    60288 ÷ 131072     		x = 0.4599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40320 ÷ 217
    40320 ÷ 131072     		y = 0.3076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4599609375 × 2 - 1) × π
    -0.080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25157285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3076171875 × 2 - 1) × π
    0.384765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20877686081934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25157285} λ = -0.25157285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20877686081934))-π/2
    2×atan(3.34938538157927)-π/2
    2×1.28065910018262-π/2
    2.56131820036525-1.57079632675     		φ = 0.99052187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25157285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.414063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99052187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.752723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60288 KachelY 40320 -0.25157285 0.99052187 -14.414063 56.752723
    Oben rechts KachelX + 1 60289 KachelY 40320 -0.25152491 0.99052187 -14.411316 56.752723
    Unten links KachelX 60288 KachelY + 1 40321 -0.25157285 0.99049559 -14.414063 56.751217
    Unten rechts KachelX + 1 60289 KachelY + 1 40321 -0.25152491 0.99049559 -14.411316 56.751217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99052187-0.99049559) × R
    2.62800000000452e-05 × 6371000     		dl = 167.429880000288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99052187-0.99049559) × R
    2.62800000000452e-05 × 6371000     		dr = 167.429880000288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25157285--0.25152491) × cos(0.99052187) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.548253489006567 × 6371000     		do = 167.450727587497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25157285--0.25152491) × cos(0.99049559) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.548275467102108 × 6371000     		du = 167.457440263591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99052187)-sin(0.99049559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548253489006567-0.548275467102108)×R²
    abs(-0.25152491--0.25157285)×2.19780955412752e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19780955412752e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19780955412752e-05×40589641000000     		ar = 28036.8171789118m²