Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 60286 / 60028
S 81.618150°
E151.160889°
← 89.03 m → S 81.618150°
E151.166382°

89 m

89 m
S 81.618950°
E151.160889°
← 89.03 m →
7 924 m²
S 81.618950°
E151.166382°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919898986816406 y=0.915962219238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919898986816406 × 216)
    floor (0.919898986816406 × 65536)
    floor (60286.5)
    tx = 60286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915962219238281 × 216)
    floor (0.915962219238281 × 65536)
    floor (60028.5)
    ty = 60028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60286 / 60028 ti = "16/60286/60028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60286/60028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60286 ÷ 216
    60286 ÷ 65536
    x = 0.919891357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60028 ÷ 216
    60028 ÷ 65536
    y = 0.91595458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.919891357421875 × 2 - 1) × π
    0.83978271484375 × 3.1415926535
    Λ = 2.63825521
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.91595458984375 × 2 - 1) × π
    -0.8319091796875 × 3.1415926535
    Φ = -2.61351976728546
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63825521} λ = 2.63825521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61351976728546))-π/2
    2×atan(0.0732761742485906)-π/2
    2×0.0731454455108082-π/2
    0.146290891021616-1.57079632675
    φ = -1.42450544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63825521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.160889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42450544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.618150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60286 KachelY 60028 2.63825521 -1.42450544 151.160889 -81.618150
    Oben rechts KachelX + 1 60287 KachelY 60028 2.63835108 -1.42450544 151.166382 -81.618150
    Unten links KachelX 60286 KachelY + 1 60029 2.63825521 -1.42451941 151.160889 -81.618950
    Unten rechts KachelX + 1 60287 KachelY + 1 60029 2.63835108 -1.42451941 151.166382 -81.618950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.42450544--1.42451941) × R
    1.39700000001408e-05 × 6371000
    dl = 89.0028700008971m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.42450544--1.42451941) × R
    1.39700000001408e-05 × 6371000
    dr = 89.0028700008971m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(2.63825521-2.63835108) × cos(-1.42450544) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.145769649072871 × 6371000
    do = 89.0343188908997m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(2.63825521-2.63835108) × cos(-1.42451941) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.145755828278391 × 6371000
    du = 89.0258773186592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.42450544)-sin(-1.42451941))×
    abs(λ12)×abs(0.145769649072871-0.145755828278391)×
    abs(2.63835108-2.63825521)×1.38207944806734e-05×
    9.58699999999979e-05×1.38207944806734e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.38207944806734e-05×40589641000000
    ar = 7923.93424795792m²