Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60286 / 30102
↖ ↑ ↗
← N 69.265875°
W 14.419555°		 ← 108.11 m → N 69.265875°
W 14.416809°		 →
↑
108.12 m
↓
↑
108.12 m
↓
N 69.264903°
W 14.419555°		 ← 108.11 m →
11 688 m²		 N 69.264903°
W 14.416809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459949493408203 y=0.229663848876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459949493408203 × 217)
    floor (0.459949493408203 × 131072)
    floor (60286.5)     		tx = 60286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229663848876953 × 217)
    floor (0.229663848876953 × 131072)
    floor (30102.5)     		ty = 30102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60286 / 30102 ti = "17/60286/30102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60286/30102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60286 ÷ 217
    60286 ÷ 131072     		x = 0.459945678710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30102 ÷ 217
    30102 ÷ 131072     		y = 0.229660034179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459945678710938 × 2 - 1) × π
    -0.080108642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25166872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229660034179688 × 2 - 1) × π
    0.540679931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69859610113707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25166872} λ = -0.25166872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69859610113707))-π/2
    2×atan(5.4662679150738)-π/2
    2×1.3898569540475-π/2
    2.779713908095-1.57079632675     		φ = 1.20891758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25166872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.419555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20891758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.265875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60286 KachelY 30102 -0.25166872 1.20891758 -14.419555 69.265875
    Oben rechts KachelX + 1 60287 KachelY 30102 -0.25162079 1.20891758 -14.416809 69.265875
    Unten links KachelX 60286 KachelY + 1 30103 -0.25166872 1.20890061 -14.419555 69.264903
    Unten rechts KachelX + 1 60287 KachelY + 1 30103 -0.25162079 1.20890061 -14.416809 69.264903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20891758-1.20890061) × R
    1.69700000001161e-05 × 6371000     		dl = 108.115870000739m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20891758-1.20890061) × R
    1.69700000001161e-05 × 6371000     		dr = 108.115870000739m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25166872--0.25162079) × cos(1.20891758) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.354031923689394 × 6371000     		do = 108.107906902665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25166872--0.25162079) × cos(1.20890061) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.354047794548167 × 6371000     		du = 108.112753260317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20891758)-sin(1.20890061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354031923689394-0.354047794548167)×R²
    abs(-0.25162079--0.25166872)×1.58708587725265e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.58708587725265e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.58708587725265e-05×40589641000000     		ar = 11688.4423930068m²