Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60283 / 30623
↖ ↑ ↗
← N 68.753311°
W 14.427795°		 ← 110.66 m → N 68.753311°
W 14.425049°		 →
↑
110.73 m
↓
↑
110.73 m
↓
N 68.752315°
W 14.427795°		 ← 110.66 m →
12 253 m²		 N 68.752315°
W 14.425049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459926605224609 y=0.233638763427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459926605224609 × 217)
    floor (0.459926605224609 × 131072)
    floor (60283.5)     		tx = 60283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.233638763427734 × 217)
    floor (0.233638763427734 × 131072)
    floor (30623.5)     		ty = 30623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60283 / 30623 ti = "17/60283/30623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60283/30623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60283 ÷ 217
    60283 ÷ 131072     		x = 0.459922790527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30623 ÷ 217
    30623 ÷ 131072     		y = 0.233634948730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459922790527344 × 2 - 1) × π
    -0.0801544189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25181253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.233634948730469 × 2 - 1) × π
    0.532730102539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.67362097643502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25181253} λ = -0.25181253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67362097643502))-π/2
    2×atan(5.33143789883068)-π/2
    2×1.38538398144356-π/2
    2.77076796288712-1.57079632675     		φ = 1.19997164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25181253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.427795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19997164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.753311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60283 KachelY 30623 -0.25181253 1.19997164 -14.427795 68.753311
    Oben rechts KachelX + 1 60284 KachelY 30623 -0.25176460 1.19997164 -14.425049 68.753311
    Unten links KachelX 60283 KachelY + 1 30624 -0.25181253 1.19995426 -14.427795 68.752315
    Unten rechts KachelX + 1 60284 KachelY + 1 30624 -0.25176460 1.19995426 -14.425049 68.752315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19997164-1.19995426) × R
    1.73800000000668e-05 × 6371000     		dl = 110.727980000426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19997164-1.19995426) × R
    1.73800000000668e-05 × 6371000     		dr = 110.727980000426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25181253--0.25176460) × cos(1.19997164) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.362384186959428 × 6371000     		do = 110.65837096977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25181253--0.25176460) × cos(1.19995426) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.362400385565398 × 6371000     		du = 110.663317408972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19997164)-sin(1.19995426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362384186959428-0.362400385565398)×R²
    abs(-0.25176460--0.25181253)×1.61986059701857e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.61986059701857e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.61986059701857e-05×40589641000000     		ar = 12253.2517425342m²