Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60282 / 82108
↖ ↑ ↗
← S 41.368564°
W 14.430542°		 ← 229.21 m → S 41.368564°
W 14.427795°		 →
↑
229.23 m
↓
↑
229.23 m
↓
S 41.370626°
W 14.430542°		 ← 229.21 m →
52 542 m²		 S 41.370626°
W 14.427795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459918975830078 y=0.626438140869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459918975830078 × 217)
    floor (0.459918975830078 × 131072)
    floor (60282.5)     		tx = 60282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626438140869141 × 217)
    floor (0.626438140869141 × 131072)
    floor (82108.5)     		ty = 82108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60282 / 82108 ti = "17/60282/82108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60282/82108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60282 ÷ 217
    60282 ÷ 131072     		x = 0.459915161132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82108 ÷ 217
    82108 ÷ 131072     		y = 0.626434326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459915161132812 × 2 - 1) × π
    -0.080169677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25186047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626434326171875 × 2 - 1) × π
    -0.25286865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.794410300503571
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25186047} λ = -0.25186047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.794410300503571))-π/2
    2×atan(0.45184761068253)-π/2
    2×0.424389337901081-π/2
    0.848778675802162-1.57079632675     		φ = -0.72201765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25186047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.430542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72201765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.368564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60282 KachelY 82108 -0.25186047 -0.72201765 -14.430542 -41.368564
    Oben rechts KachelX + 1 60283 KachelY 82108 -0.25181253 -0.72201765 -14.427795 -41.368564
    Unten links KachelX 60282 KachelY + 1 82109 -0.25186047 -0.72205363 -14.430542 -41.370626
    Unten rechts KachelX + 1 60283 KachelY + 1 82109 -0.25181253 -0.72205363 -14.427795 -41.370626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72201765--0.72205363) × R
    3.59800000000465e-05 × 6371000     		dl = 229.228580000296m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72201765--0.72205363) × R
    3.59800000000465e-05 × 6371000     		dr = 229.228580000296m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25186047--0.25181253) × cos(-0.72201765) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.75047379229337 × 6371000     		do = 229.214013361924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25186047--0.25181253) × cos(-0.72205363) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.750450012618066 × 6371000     		du = 229.206750436997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72201765)-sin(-0.72205363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.75047379229337-0.750450012618066)×R²
    abs(-0.25181253--0.25186047)×2.3779675303981e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3779675303981e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3779675303981e-05×40589641000000     		ar = 52541.5703699876m²