Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60280 / 27255
↖ ↑ ↗
← N 71.863925°
W 14.436035°		 ← 95.05 m → N 71.863925°
W 14.433289°		 →
↑
95.06 m
↓
↑
95.06 m
↓
N 71.863070°
W 14.436035°		 ← 95.06 m →
9 035 m²		 N 71.863070°
W 14.433289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459903717041016 y=0.207942962646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459903717041016 × 217)
    floor (0.459903717041016 × 131072)
    floor (60280.5)     		tx = 60280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207942962646484 × 217)
    floor (0.207942962646484 × 131072)
    floor (27255.5)     		ty = 27255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60280 / 27255 ti = "17/60280/27255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60280/27255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60280 ÷ 217
    60280 ÷ 131072     		x = 0.45989990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27255 ÷ 217
    27255 ÷ 131072     		y = 0.207939147949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45989990234375 × 2 - 1) × π
    -0.0802001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25195634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207939147949219 × 2 - 1) × π
    0.584121704101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.83507245435537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25195634} λ = -0.25195634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83507245435537))-π/2
    2×atan(6.26558809813675)-π/2
    2×1.41252921516196-π/2
    2.82505843032392-1.57079632675     		φ = 1.25426210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25195634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.436035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25426210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.863925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60280 KachelY 27255 -0.25195634 1.25426210 -14.436035 71.863925
    Oben rechts KachelX + 1 60281 KachelY 27255 -0.25190841 1.25426210 -14.433289 71.863925
    Unten links KachelX 60280 KachelY + 1 27256 -0.25195634 1.25424718 -14.436035 71.863070
    Unten rechts KachelX + 1 60281 KachelY + 1 27256 -0.25190841 1.25424718 -14.433289 71.863070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25426210-1.25424718) × R
    1.49200000001404e-05 × 6371000     		dl = 95.0553200008943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25426210-1.25424718) × R
    1.49200000001404e-05 × 6371000     		dr = 95.0553200008943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25195634--0.25190841) × cos(1.25426210) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.311274843305382 × 6371000     		do = 95.0515180396113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25195634--0.25190841) × cos(1.25424718) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.311289022044111 × 6371000     		du = 95.0558476880526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25426210)-sin(1.25424718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311274843305382-0.311289022044111)×R²
    abs(-0.25190841--0.25195634)×1.41787387294978e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.41787387294978e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.41787387294978e-05×40589641000000     		ar = 9035.35824208636m²