Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60279 / 40222
↖ ↑ ↗
← N 56.900004°
W 14.438782°		 ← 166.79 m → N 56.900004°
W 14.436035°		 →
↑
166.79 m
↓
↑
166.79 m
↓
N 56.898504°
W 14.438782°		 ← 166.80 m →
27 821 m²		 N 56.898504°
W 14.436035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459896087646484 y=0.306873321533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459896087646484 × 217)
    floor (0.459896087646484 × 131072)
    floor (60279.5)     		tx = 60279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306873321533203 × 217)
    floor (0.306873321533203 × 131072)
    floor (40222.5)     		ty = 40222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60279 / 40222 ti = "17/60279/40222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60279/40222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60279 ÷ 217
    60279 ÷ 131072     		x = 0.459892272949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40222 ÷ 217
    40222 ÷ 131072     		y = 0.306869506835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459892272949219 × 2 - 1) × π
    -0.0802154541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25200428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306869506835938 × 2 - 1) × π
    0.386260986328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.2134746769821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25200428} λ = -0.25200428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2134746769821))-π/2
    2×atan(3.36515719589599)-π/2
    2×1.2819443693446-π/2
    2.5638887386892-1.57079632675     		φ = 0.99309241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25200428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.438782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99309241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.900004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60279 KachelY 40222 -0.25200428 0.99309241 -14.438782 56.900004
    Oben rechts KachelX + 1 60280 KachelY 40222 -0.25195634 0.99309241 -14.436035 56.900004
    Unten links KachelX 60279 KachelY + 1 40223 -0.25200428 0.99306623 -14.438782 56.898504
    Unten rechts KachelX + 1 60280 KachelY + 1 40223 -0.25195634 0.99306623 -14.436035 56.898504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99309241-0.99306623) × R
    2.61799999999868e-05 × 6371000     		dl = 166.792779999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99309241-0.99306623) × R
    2.61799999999868e-05 × 6371000     		dr = 166.792779999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25200428--0.25195634) × cos(0.99309241) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.546101906047325 × 6371000     		do = 166.793578769998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25200428--0.25195634) × cos(0.99306623) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.546123837337114 × 6371000     		du = 166.800277150412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99309241)-sin(0.99306623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546101906047325-0.546123837337114)×R²
    abs(-0.25195634--0.25200428)×2.19312897896673e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19312897896673e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19312897896673e-05×40589641000000     		ar = 27820.5233114891m²