Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60278 / 83472
↖ ↑ ↗
← S 44.119141°
W 14.441528°		 ← 219.26 m → S 44.119141°
W 14.438782°		 →
↑
219.29 m
↓
↑
219.29 m
↓
S 44.121113°
W 14.441528°		 ← 219.26 m →
48 081 m²		 S 44.121113°
W 14.438782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459888458251953 y=0.636844635009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459888458251953 × 217)
    floor (0.459888458251953 × 131072)
    floor (60278.5)     		tx = 60278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636844635009766 × 217)
    floor (0.636844635009766 × 131072)
    floor (83472.5)     		ty = 83472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60278 / 83472 ti = "17/60278/83472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60278/83472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60278 ÷ 217
    60278 ÷ 131072     		x = 0.459884643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83472 ÷ 217
    83472 ÷ 131072     		y = 0.6368408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459884643554688 × 2 - 1) × π
    -0.080230712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25205222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6368408203125 × 2 - 1) × π
    -0.273681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.859796231585327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25205222} λ = -0.25205222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.859796231585327))-π/2
    2×atan(0.423248318170185)-π/2
    2×0.400386022098691-π/2
    0.800772044197383-1.57079632675     		φ = -0.77002428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25205222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.441528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77002428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.119141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60278 KachelY 83472 -0.25205222 -0.77002428 -14.441528 -44.119141
    Oben rechts KachelX + 1 60279 KachelY 83472 -0.25200428 -0.77002428 -14.438782 -44.119141
    Unten links KachelX 60278 KachelY + 1 83473 -0.25205222 -0.77005870 -14.441528 -44.121113
    Unten rechts KachelX + 1 60279 KachelY + 1 83473 -0.25200428 -0.77005870 -14.438782 -44.121113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77002428--0.77005870) × R
    3.44199999999795e-05 × 6371000     		dl = 219.289819999869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77002428--0.77005870) × R
    3.44199999999795e-05 × 6371000     		dr = 219.289819999869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25205222--0.25200428) × cos(-0.77002428) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.71789376723574 × 6371000     		do = 219.26323509922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25205222--0.25200428) × cos(-0.77005870) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.717869805235611 × 6371000     		du = 219.255916487598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77002428)-sin(-0.77005870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71789376723574-0.717869805235611)×R²
    abs(-0.25200428--0.25205222)×2.39620001297736e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39620001297736e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39620001297736e-05×40589641000000     		ar = 48081.3929137855m²