Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60276 / 30610
↖ ↑ ↗
← N 68.766246°
W 14.447021°		 ← 110.59 m → N 68.766246°
W 14.444275°		 →
↑
110.60 m
↓
↑
110.60 m
↓
N 68.765251°
W 14.447021°		 ← 110.60 m →
12 232 m²		 N 68.765251°
W 14.444275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459873199462891 y=0.233539581298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459873199462891 × 217)
    floor (0.459873199462891 × 131072)
    floor (60276.5)     		tx = 60276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.233539581298828 × 217)
    floor (0.233539581298828 × 131072)
    floor (30610.5)     		ty = 30610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60276 / 30610 ti = "17/60276/30610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60276/30610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60276 ÷ 217
    60276 ÷ 131072     		x = 0.459869384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30610 ÷ 217
    30610 ÷ 131072     		y = 0.233535766601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459869384765625 × 2 - 1) × π
    -0.08026123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25214809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.233535766601562 × 2 - 1) × π
    0.532928466796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.67424415613008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25214809} λ = -0.25214809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67424415613008))-π/2
    2×atan(5.33476137812956)-π/2
    2×1.38549686389185-π/2
    2.77099372778371-1.57079632675     		φ = 1.20019740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25214809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.447021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20019740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.766246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60276 KachelY 30610 -0.25214809 1.20019740 -14.447021 68.766246
    Oben rechts KachelX + 1 60277 KachelY 30610 -0.25210016 1.20019740 -14.444275 68.766246
    Unten links KachelX 60276 KachelY + 1 30611 -0.25214809 1.20018004 -14.447021 68.765251
    Unten rechts KachelX + 1 60277 KachelY + 1 30611 -0.25210016 1.20018004 -14.444275 68.765251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20019740-1.20018004) × R
    1.73599999999663e-05 × 6371000     		dl = 110.600559999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20019740-1.20018004) × R
    1.73599999999663e-05 × 6371000     		dr = 110.600559999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25214809--0.25210016) × cos(1.20019740) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.362173762902345 × 6371000     		do = 110.594115452538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25214809--0.25210016) × cos(1.20018004) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.362189944287738 × 6371000     		du = 110.59905663323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20019740)-sin(1.20018004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362173762902345-0.362189944287738)×R²
    abs(-0.25210016--0.25214809)×1.61813853929438e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.61813853929438e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.61813853929438e-05×40589641000000     		ar = 12232.044350834m²