Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60272 / 40688
↖ ↑ ↗
← N 56.194481°
W 14.458008°		 ← 169.93 m → N 56.194481°
W 14.455261°		 →
↑
169.91 m
↓
↑
169.91 m
↓
N 56.192953°
W 14.458008°		 ← 169.94 m →
28 874 m²		 N 56.192953°
W 14.455261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459842681884766 y=0.310428619384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459842681884766 × 217)
    floor (0.459842681884766 × 131072)
    floor (60272.5)     		tx = 60272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310428619384766 × 217)
    floor (0.310428619384766 × 131072)
    floor (40688.5)     		ty = 40688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60272 / 40688 ti = "17/60272/40688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60272/40688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60272 ÷ 217
    60272 ÷ 131072     		x = 0.4598388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40688 ÷ 217
    40688 ÷ 131072     		y = 0.3104248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4598388671875 × 2 - 1) × π
    -0.080322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25233984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3104248046875 × 2 - 1) × π
    0.379150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19113608175916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25233984} λ = -0.25233984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19113608175916))-π/2
    2×atan(3.29081772247512)-π/2
    2×1.27578751976665-π/2
    2.5515750395333-1.57079632675     		φ = 0.98077871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25233984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.458008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98077871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.194481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60272 KachelY 40688 -0.25233984 0.98077871 -14.458008 56.194481
    Oben rechts KachelX + 1 60273 KachelY 40688 -0.25229190 0.98077871 -14.455261 56.194481
    Unten links KachelX 60272 KachelY + 1 40689 -0.25233984 0.98075204 -14.458008 56.192953
    Unten rechts KachelX + 1 60273 KachelY + 1 40689 -0.25229190 0.98075204 -14.455261 56.192953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98077871-0.98075204) × R
    2.66700000000064e-05 × 6371000     		dl = 169.914570000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98077871-0.98075204) × R
    2.66700000000064e-05 × 6371000     		dr = 169.914570000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25233984--0.25229190) × cos(0.98077871) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.556375661337964 × 6371000     		do = 169.931448082026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25233984--0.25229190) × cos(0.98075204) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.556397822066597 × 6371000     		du = 169.938216538967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98077871)-sin(0.98075204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556375661337964-0.556397822066597)×R²
    abs(-0.25229190--0.25233984)×2.21607286330361e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.21607286330361e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.21607286330361e-05×40589641000000     		ar = 28874.4039618506m²