Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60271 / 82139
↖ ↑ ↗
← S 41.432431°
W 14.460755°		 ← 228.99 m → S 41.432431°
W 14.458008°		 →
↑
228.97 m
↓
↑
228.97 m
↓
S 41.434490°
W 14.460755°		 ← 228.98 m →
52 432 m²		 S 41.434490°
W 14.458008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459835052490234 y=0.626674652099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459835052490234 × 217)
    floor (0.459835052490234 × 131072)
    floor (60271.5)     		tx = 60271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626674652099609 × 217)
    floor (0.626674652099609 × 131072)
    floor (82139.5)     		ty = 82139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60271 / 82139 ti = "17/60271/82139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60271/82139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60271 ÷ 217
    60271 ÷ 131072     		x = 0.459831237792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82139 ÷ 217
    82139 ÷ 131072     		y = 0.626670837402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459831237792969 × 2 - 1) × π
    -0.0803375244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25238778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626670837402344 × 2 - 1) × π
    -0.253341674804688 × 3.1415926535     		Φ = -0.795896344391792
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25238778} λ = -0.25238778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.795896344391792))-π/2
    2×atan(0.451176643968735)-π/2
    2×0.423831993257252-π/2
    0.847663986514504-1.57079632675     		φ = -0.72313234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25238778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.460755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72313234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.432431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60271 KachelY 82139 -0.25238778 -0.72313234 -14.460755 -41.432431
    Oben rechts KachelX + 1 60272 KachelY 82139 -0.25233984 -0.72313234 -14.458008 -41.432431
    Unten links KachelX 60271 KachelY + 1 82140 -0.25238778 -0.72316828 -14.460755 -41.434490
    Unten rechts KachelX + 1 60272 KachelY + 1 82140 -0.25233984 -0.72316828 -14.458008 -41.434490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72313234--0.72316828) × R
    3.59399999999566e-05 × 6371000     		dl = 228.973739999723m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72313234--0.72316828) × R
    3.59399999999566e-05 × 6371000     		dr = 228.973739999723m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25238778--0.25233984) × cos(-0.72313234) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.74973662734679 × 6371000     		do = 228.988864212612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25238778--0.25233984) × cos(-0.72316828) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.749712844058363 × 6371000     		du = 228.981600184145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72313234)-sin(-0.72316828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74973662734679-0.749712844058363)×R²
    abs(-0.25233984--0.25238778)×2.37832884270039e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37832884270039e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37832884270039e-05×40589641000000     		ar = 52431.6050269173m²