Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60271 / 59983
↖ ↑ ↗
← S 81.582039°
E151.078491°		 ← 89.42 m → S 81.582039°
E151.083984°		 →
↑
89.45 m
↓
↑
89.45 m
↓
S 81.582843°
E151.078491°		 ← 89.41 m →
7 998 m²		 S 81.582843°
E151.083984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919670104980469 y=0.915275573730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919670104980469 × 216)
    floor (0.919670104980469 × 65536)
    floor (60271.5)     		tx = 60271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915275573730469 × 216)
    floor (0.915275573730469 × 65536)
    floor (59983.5)     		ty = 59983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60271 / 59983 ti = "16/60271/59983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60271/59983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60271 ÷ 216
    60271 ÷ 65536     		x = 0.919662475585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59983 ÷ 216
    59983 ÷ 65536     		y = 0.915267944335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919662475585938 × 2 - 1) × π
    0.839324951171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.63681710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915267944335938 × 2 - 1) × π
    -0.830535888671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.60920544631966
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63681710} λ = 2.63681710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60920544631966))-π/2
    2×atan(0.0735929941233358)-π/2
    2×0.0734605660519207-π/2
    0.146921132103841-1.57079632675     		φ = -1.42387519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63681710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.078491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42387519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.582039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60271 KachelY 59983 2.63681710 -1.42387519 151.078491 -81.582039
    Oben rechts KachelX + 1 60272 KachelY 59983 2.63691297 -1.42387519 151.083984 -81.582039
    Unten links KachelX 60271 KachelY + 1 59984 2.63681710 -1.42388923 151.078491 -81.582843
    Unten rechts KachelX + 1 60272 KachelY + 1 59984 2.63691297 -1.42388923 151.083984 -81.582843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42387519--1.42388923) × R
    1.40399999999374e-05 × 6371000     		dl = 89.4488399996014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42387519--1.42388923) × R
    1.40399999999374e-05 × 6371000     		dr = 89.4488399996014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63681710-2.63691297) × cos(-1.42387519) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146393138101889 × 6371000     		do = 89.4151383645527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63681710-2.63691297) × cos(-1.42388923) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146379249347537 × 6371000     		du = 89.406655283254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42387519)-sin(-1.42388923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146393138101889-0.146379249347537)×R²
    abs(2.63691297-2.63681710)×1.38887543519595e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.38887543519595e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.38887543519595e-05×40589641000000     		ar = 7997.70100429961m²