Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60271 / 40078
↖ ↑ ↗
← N 57.115368°
W 14.460755°		 ← 165.83 m → N 57.115368°
W 14.458008°		 →
↑
165.84 m
↓
↑
165.84 m
↓
N 57.113876°
W 14.460755°		 ← 165.84 m →
27 501 m²		 N 57.113876°
W 14.458008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459835052490234 y=0.305774688720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459835052490234 × 217)
    floor (0.459835052490234 × 131072)
    floor (60271.5)     		tx = 60271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305774688720703 × 217)
    floor (0.305774688720703 × 131072)
    floor (40078.5)     		ty = 40078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60271 / 40078 ti = "17/60271/40078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60271/40078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60271 ÷ 217
    60271 ÷ 131072     		x = 0.459831237792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40078 ÷ 217
    40078 ÷ 131072     		y = 0.305770874023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459831237792969 × 2 - 1) × π
    -0.0803375244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25238778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305770874023438 × 2 - 1) × π
    0.388458251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.22037759052739
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25238778} λ = -0.25238778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22037759052739))-π/2
    2×atan(3.38846694511791)-π/2
    2×1.28382377276608-π/2
    2.56764754553216-1.57079632675     		φ = 0.99685122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25238778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.460755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99685122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.115368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60271 KachelY 40078 -0.25238778 0.99685122 -14.460755 57.115368
    Oben rechts KachelX + 1 60272 KachelY 40078 -0.25233984 0.99685122 -14.458008 57.115368
    Unten links KachelX 60271 KachelY + 1 40079 -0.25238778 0.99682519 -14.460755 57.113876
    Unten rechts KachelX + 1 60272 KachelY + 1 40079 -0.25233984 0.99682519 -14.458008 57.113876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99685122-0.99682519) × R
    2.60300000000102e-05 × 6371000     		dl = 165.837130000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99685122-0.99682519) × R
    2.60300000000102e-05 × 6371000     		dr = 165.837130000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25238778--0.25233984) × cos(0.99685122) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.542949230000669 × 6371000     		do = 165.830670355468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25238778--0.25233984) × cos(0.99682519) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.54297108891329 × 6371000     		du = 165.837346630031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99685122)-sin(0.99682519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542949230000669-0.54297108891329)×R²
    abs(-0.25233984--0.25238778)×2.18589126210755e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.18589126210755e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.18589126210755e-05×40589641000000     		ar = 27501.4360264972m²