Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60271 / 30696
↖ ↑ ↗
← N 68.680533°
W 14.460755°		 ← 111.04 m → N 68.680533°
W 14.458008°		 →
↑
111.05 m
↓
↑
111.05 m
↓
N 68.679535°
W 14.460755°		 ← 111.05 m →
12 331 m²		 N 68.679535°
W 14.458008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459835052490234 y=0.234195709228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459835052490234 × 217)
    floor (0.459835052490234 × 131072)
    floor (60271.5)     		tx = 60271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234195709228516 × 217)
    floor (0.234195709228516 × 131072)
    floor (30696.5)     		ty = 30696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60271 / 30696 ti = "17/60271/30696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60271/30696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60271 ÷ 217
    60271 ÷ 131072     		x = 0.459831237792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30696 ÷ 217
    30696 ÷ 131072     		y = 0.23419189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459831237792969 × 2 - 1) × π
    -0.0803375244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25238778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23419189453125 × 2 - 1) × π
    0.5316162109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.67012158276276
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25238778} λ = -0.25238778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67012158276276))-π/2
    2×atan(5.31281370448298)-π/2
    2×1.38474888400867-π/2
    2.76949776801734-1.57079632675     		φ = 1.19870144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25238778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.460755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19870144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.680533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60271 KachelY 30696 -0.25238778 1.19870144 -14.460755 68.680533
    Oben rechts KachelX + 1 60272 KachelY 30696 -0.25233984 1.19870144 -14.458008 68.680533
    Unten links KachelX 60271 KachelY + 1 30697 -0.25238778 1.19868401 -14.460755 68.679535
    Unten rechts KachelX + 1 60272 KachelY + 1 30697 -0.25233984 1.19868401 -14.458008 68.679535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19870144-1.19868401) × R
    1.7429999999985e-05 × 6371000     		dl = 111.046529999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19870144-1.19868401) × R
    1.7429999999985e-05 × 6371000     		dr = 111.046529999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25238778--0.25233984) × cos(1.19870144) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.363567757297697 × 6371000     		do = 111.042951312845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25238778--0.25233984) × cos(1.19868401) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.363583994468473 × 6371000     		du = 111.047910562745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19870144)-sin(1.19868401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363567757297697-0.363583994468473)×R²
    abs(-0.25233984--0.25238778)×1.62371707765896e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.62371707765896e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.62371707765896e-05×40589641000000     		ar = 12331.2097781917m²