Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60270 / 82930
↖ ↑ ↗
← S 43.040791°
W 14.463501°		 ← 223.18 m → S 43.040791°
W 14.460755°		 →
↑
223.24 m
↓
↑
223.24 m
↓
S 43.042798°
W 14.463501°		 ← 223.17 m →
49 822 m²		 S 43.042798°
W 14.460755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459827423095703 y=0.632709503173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459827423095703 × 217)
    floor (0.459827423095703 × 131072)
    floor (60270.5)     		tx = 60270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632709503173828 × 217)
    floor (0.632709503173828 × 131072)
    floor (82930.5)     		ty = 82930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60270 / 82930 ti = "17/60270/82930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60270/82930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60270 ÷ 217
    60270 ÷ 131072     		x = 0.459823608398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82930 ÷ 217
    82930 ÷ 131072     		y = 0.632705688476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459823608398438 × 2 - 1) × π
    -0.080352783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25243571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632705688476562 × 2 - 1) × π
    -0.265411376953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.833814431991257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25243571} λ = -0.25243571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.833814431991257))-π/2
    2×atan(0.434389174179329)-π/2
    2×0.40979640763587-π/2
    0.81959281527174-1.57079632675     		φ = -0.75120351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25243571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.463501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75120351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.040791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60270 KachelY 82930 -0.25243571 -0.75120351 -14.463501 -43.040791
    Oben rechts KachelX + 1 60271 KachelY 82930 -0.25238778 -0.75120351 -14.460755 -43.040791
    Unten links KachelX 60270 KachelY + 1 82931 -0.25243571 -0.75123855 -14.463501 -43.042798
    Unten rechts KachelX + 1 60271 KachelY + 1 82931 -0.25238778 -0.75123855 -14.460755 -43.042798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75120351--0.75123855) × R
    3.50399999999862e-05 × 6371000     		dl = 223.239839999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75120351--0.75123855) × R
    3.50399999999862e-05 × 6371000     		dr = 223.239839999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25243571--0.25238778) × cos(-0.75120351) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.730867980105482 × 6371000     		do = 223.179330066888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25243571--0.25238778) × cos(-0.75123855) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.730844064195917 × 6371000     		du = 223.172027056194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75120351)-sin(-0.75123855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730867980105482-0.730844064195917)×R²
    abs(-0.25238778--0.25243571)×2.39159095658525e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39159095658525e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39159095658525e-05×40589641000000     		ar = 49821.7027791368m²